\documentclass[a4paper, 10.5pt, twoside, openany]{book} \usepackage{amsfonts} \usepackage{array} \usepackage{boxedminipage, fancybox} \usepackage{caption} \usepackage{color} \usepackage[colorlinks,linkcolor=blue]{hyperref} \usepackage{ctex} \usepackage{datetime} \usepackage[dvipsnames]{xcolor} \usepackage{enumerate} \usepackage{epsfig,graphicx,subfigure} \usepackage{extarrows} \usepackage{fancyheadings} \usepackage{float} \usepackage{geometry} \usepackage{listings} \usepackage{longtable} \usepackage{makeidx} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{multirow} \usepackage{natbib} \usepackage{pifont} \usepackage{rotating} \usepackage{setspace} \usepackage{shadow} \usepackage{stmaryrd, amssymb, amsmath} \usepackage{tabularx} \usepackage{url} \usepackage{varioref} \usepackage{verbatim} \usepackage{wrapfig} \usepackage{xcolor} \geometry{left=2.0cm, right=2.0cm, top=2.5cm, bottom=2.5cm} \linespread{1.5} \definecolor{mygray}{rgb}{0.85, 0.85, 0.85} \newcommand{\codeinline}[1]{\colorbox{mygray}{\lstinline|#1|}} %% ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \title{\Huge \bf 《多元统计分析》课后作业} \author{\kaishu 姓名：\underline{\quad 李倩倩 \quad} \\[5mm] \kaishu 学号：\underline{\quad 2024017349 \quad} \\[5mm] \kaishu 班级：\underline{\quad 统计 24-1 班 \quad} \\[50mm] \kaishu 中国石油大学（北京）克拉玛依校区文理学院数学与统计系 } \date{\today} \begin{document} % -------------------------------------------- 封面页 -------------------------------------------- \frontmatter \maketitle % -------------------------------------------- 作业要求 -------------------------------------------- \chapter{作业要求} \begin{enumerate} \item 可以和其他同学讨论作业当中的问题，但应当自己独立完成作业 \item 计算、证明等要有过程，要有主要步骤的说明 \item 请将计算、绘图所用的 R 代码以及生成的结果和图像一并添加在作业文件当中 \item 请使用 \LaTeX 编辑并生成 PDF 格式的文件，第 X 周作业文件命名方式：学号-姓名-X.pdf \item 评分标准：每一问得分 $\in \left\{ 2 ,\, 1 ,\, 0 \right\}$ \begin{itemize} \item 2:~ 按时完成并上交作业，且答案基本正确 \item 1:~ 按时完成并上交作业，且答案部分正确 \item 0:~ 答案完全错误，或者迟交作业(规定时间72小时之后) \end{itemize} \item 请将完成的 PDF 格式的作业文件发送至邮箱：xiaolei@cup.edu.cn \item 每位同学可以有一次迟交作业的机会，但不得晚于规定时间三日之后 \item 第 6 周作业截止时间：2026年4月24日24:00 \end{enumerate} \tableofcontents % -------------------------------------------- 正文部分 -------------------------------------------- \mainmatter % -------------------------------------------- 第 7 周作业 -------------------------------------------- \chapter{第 7 周作业} {\kaishu \color{blue} 第 7 周作业截止时间：} 2026年5月1日24:00 {\kaishu \color{blue} 第 7 周作业完成时间：} \today \space \currenttime % 请勿编辑、删除本行！ \begin{enumerate} \item 从二元正态分布总体模拟抽样一个简单随机样本，其中 \begin{equation} \boldsymbol{\mu} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) ~, \quad \mathnormal{\Sigma} = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{array} \right) \end{equation} 检验假设 $H_0:~ 2 \, \mu_1 - \mu_2 = 0.2$. \begin{enumerate} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 首先，假设 $\mathnormal{\Sigma}$ 已知. {\color{red} \heiti 【解】} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 其次，假设 $\mathnormal{\Sigma}$ 未知. {\color{red} \heiti 【解】} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 比较上述结果. {\color{red} \heiti 【解】} \end{enumerate} \item 对上课用到的美国公司数据集. \begin{enumerate} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 使用 $X_1$ 至 $X_6$ 全部六个变量的观测数据，检验能源行业的均值向量与制造业的均值向量是否相同. {\color{red} \heiti 【解】} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算均值差的联合置信区间. {\color{red} \heiti 【解】} \end{enumerate} \item 设 $\boldsymbol{X} \sim N_2 \left( \boldsymbol{\mu} ,\, \mathnormal{\Sigma} \right)$，其中 $\mathnormal{\Sigma}$ 已知 \begin{equation} \mathnormal{\Sigma} = \left( \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \end{equation} 从中抽取了容量 $n = 6$ 的一个简单随机样本，计算得 \begin{equation} \overline{\boldsymbol{x}} = \left( \begin{array}{c} 1 \\[3mm] \dfrac{1}{2} \end{array} \right) \end{equation} \begin{enumerate} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 求解假设检验问题 $H_0:~ \mu_1 + \mu_2 = \dfrac{7}{2} ~\longleftrightarrow~ H_1:~ \mu_1 + \mu_2 \not= \dfrac{7}{2}$. {\color{red} \heiti 【解】} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 作拒绝域的可视化图形. {\color{red} \heiti 【解】} \end{enumerate} \item 设 $\boldsymbol{X} \sim N_2 \left( \boldsymbol{\mu} ,\, \mathnormal{\Sigma} \right)$，其中 $\mathnormal{\Sigma}$ 未知. 从中抽取了容量 $n = 6$ 的一个简单随机样本，计算得 \begin{equation} \overline{\boldsymbol{x}} = \left( \begin{array}{c} 1 \\[3mm] \dfrac{1}{2} \end{array} \right) \,, \quad \mathcal{S} = \left( \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \end{equation} \begin{enumerate} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 求解假设检验问题 $H_0:~ \mu_1 - \mu_2 = \dfrac{1}{2} ~\longleftrightarrow~ H_1:~ \mu_1 - \mu_2 \not= \dfrac{1}{2}$. {\color{red} \heiti 【解】} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 作拒绝域的可视化图形. {\color{red} \heiti 【解】} \end{enumerate} \item 已知 $\boldsymbol{X} \sim N_3 \left( \boldsymbol{\mu} ,\, \mathnormal{\Sigma} \right)$. 从中抽取了容量 $n=10$ 的一个简单随机样本，算得 \begin{equation} \overline{\boldsymbol{x}} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)~, \quad \mathcal{S} = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{array} \right) \end{equation} \begin{enumerate} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 已知 $\mathcal{S}$ 的特征值为整数，给出 $\boldsymbol{\mu}$ 的置信度为 $95\%$ 一个置信域. \noindent {\color{blue} 【提示】为计算特征值，可以利用下式： \begin{equation} \left| \mathcal{S} \right| = \prod_{j=1}^3 \, \lambda_j ~, \quad {\rm tr} (\mathcal{S}) = \sum_{j=1}^3 \, \lambda_j \end{equation} } {\color{red} \heiti 【解】} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $\mu_1$，$\mu_2$，以及 $\mu_3$ 的联合置信区间. {\color{red} \heiti 【解】} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 可否认为 $\mu_1$ 等于 $\mu_2$ 与 $\mu_3$ 的平均? {\color{red} \heiti 【解】} \end{enumerate} \item 对取自两个二元正态分布总体、容量均为 $10$ 的两个独立样本，计算得 \begin{equation} \overline{\boldsymbol{x}}_1 = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right) \,,\quad \mathcal{S}_1 = \left( \begin{array}{rr} 4 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \,, \quad \overline{\boldsymbol{x}}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \,,\quad \mathcal{S}_2 = \left( \begin{array}{rr} 2 & -2 \\ -2 & 4 \end{array} \right) \end{equation} 求解以下假设检验问题： \begin{enumerate} \item {\color{TealBlue} [2 分]} $H_0:~ \boldsymbol{\mu}_1 = \boldsymbol{\mu}_2 ~\longleftrightarrow~ H_1:~ \boldsymbol{\mu}_1 \not= \boldsymbol{\mu}_2$. {\color{red} \heiti 【解】} \item {\color{TealBlue} [2 分]} $H_0:~ \mu_{11} = \mu_{21} ~\longleftrightarrow~ H_1:~ \mu_{11} \not= \mu_{21}$. {\color{red} \heiti 【解】} \item {\color{TealBlue} [2 分]} $H_0:~ \mu_{12} = \mu_{22} ~\longleftrightarrow~ H_1:~ \mu_{12} \not= \mu_{22}$. {\color{red} \heiti 【解】} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 比较上述结果并作简要分析. {\color{red} \heiti 【解】} \end{enumerate} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 对于课堂中讨论过的美国公司数据集，利用 $X_1 \sim X_6$ 的全部六个变量的观测数据，检验能源行业和制造业的协方差矩阵是否相等. {\color{red} \heiti 【解】} \item 对于瑞士银行钞票数据集 (mclust 包中的 banknote 数据集) 当中的伪钞数据，我们想知道钞票对角线的长度 $X_6$ 是否可以由 $X_1 \sim X_5$ 的一个线性模型来预测. \begin{enumerate} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 拟合线性模型，给出拟合结果. {\color{red} \heiti 【解】} \item {\color{TealBlue} [2 分]} 检验回归系数是否显著不等于零 (取显著水平 $\alpha = 0.05$). {\color{red} \heiti 【解】} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}