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%% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\title{\Huge \bf 《多元统计分析》课后作业}
\author{\kaishu 姓名：\underline{\quad 李倩倩\quad} \\[5mm]
\kaishu 学号：\underline{\quad 2024017349 \quad} \\[5mm]
\kaishu 班级：\underline{\quad 统计 24-1 班 \quad} \\[50mm]
\kaishu 中国石油大学（北京）克拉玛依校区文理学院数学与统计系
}
\date{\today}
\begin{document}
% -------------------------------------------- 封面页 --------------------------------------------
\frontmatter
\maketitle
% -------------------------------------------- 作业要求 --------------------------------------------
\chapter{作业要求}
\begin{enumerate}
\item 可以和其他同学讨论作业当中的问题，但应当自己独立完成作业
\item 计算、证明等要有过程，要有主要步骤的说明
\item 请将计算、绘图所用的 R 代码以及生成的结果和图像一并添加在作业文件当中
\item 请使用 \LaTeX 编辑并生成 PDF 格式的文件，第1周作业文件命名方式：学号-姓名-01.pdf
\item 评分标准：每一问得分 $\in \left\{ 2 ,\, 1 ,\, 0 \right\}$
\begin{itemize}
\item 2:~ 按时完成并上交作业，且答案基本正确
\item 1:~ 按时完成并上交作业，且答案部分正确
\item 0:~ 答案完全错误，或者迟交作业(规定时间72小时之后)
\end{itemize}
\item 请将完成的 PDF 格式的作业文件发送至邮箱：xiaolei@cup.edu.cn
\item 每位同学可以有一次迟交作业的机会，但不得晚于规定时间三日之后
\item 第1周作业截止时间：2026年3月20日24:00
\end{enumerate}
\tableofcontents
% -------------------------------------------- 正文部分 --------------------------------------------
\mainmatter
% -------------------------------------------- 第一周作业 --------------------------------------------
\pagenumbering{arabic}
\chapter{第一周作业}
{\kaishu \color{blue} 第一周作业完成时间：} \today \space \currenttime % 不得删除、编辑本行
\vspace{10mm}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 最大值一定是异常值吗?
{\color{red} 【解】}最大值不一定是异常值。而是用箱线图规则来判定，只有当最大值的位置超过四分位距1.5倍时才算异常值。
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 均值或中位数是否有可能位于四分位数之外?
{\color{red} 【解】}均值则可能位于四分位数之外，均值受极端值影响较大，可能出现小于下四分位数或大于上四分位数的情况；而中位数一定位于四分位数之间，因为中位数是第50百分位数，而下四分位数是第25百分位数，上四分位数是第75百分位数，所以必然有 下四分位数 ≤ 中位数 ≤ 上四分位数。
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 假设数据来自标准正态分布 $N(0,1)$. 你预计会有百分之多少的数据可能是异常值呢?
{\color{red} 【解】}采用箱线图规则定义异常值：
\[\text{下界} = Q_1 - 1.5 \times \text{IQR}, \quad
\text{上界} = Q_3 + 1.5 \times \text{IQR}.
\]
标准正态分布的下四分位数Q1与上四分位数Q3分别为：
\[
Q_1 = \Phi^{-1}(0.25) \approx -0.67449, \quad
Q_3 = \Phi^{-1}(0.75) \approx 0.67449.
\]
四分位距：
\[
\text{IQR} = Q_3 - Q_1 \approx 0.67449 - (-0.67449) = 1.34898.
\]
异常值边界：
\[
L = Q_1 - 1.5 \times \text{IQR} \approx -0.67449 - 1.5 \times 1.34898 = -2.69796,
\]
\[
U = Q_3 + 1.5 \times \text{IQR} \approx 0.67449 + 2.02347 = 2.69796.
\]
由对称性，可得异常值概率为
\[
p = P(Z < L) + P(Z > U) = 2 \times \Phi(L)\approx 2\times\Phi(-2.69796) \approx 2\times0.00349 = 0.00698 \approx 0.698\%.
\]
综上：在标准正态分布中，基于箱线图规则，预计约有 \(0.7\%\) 的数据会被判定为异常值。
\item 关于五数总括中的五个数字.
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 有没有可能五个数字全部相等呢?
{\color{red} 【解】}有可能。
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 如果可能的话，会在什么情况下发生呢?
{\color{red} 【解】}当且仅当数据集中所有观测值都相等时，五数总括中的五个数字（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值）全部相等。
\end{enumerate}
\item 对于瑞银纸币的对角线变量而言.
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 使用带宽选择准则来计算对角线变量的最优选定带宽 $h$ 并作核密度估计的图形.
{\color{red} 【解】}已知样本标准差的公式为\[\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\],
则使用R计算可得真钞与假钞对角线样本标准差分别为 \[\hat{\sigma} _{genuine}=0.4470001,\quad \hat{\sigma} _{counterfeit}=0.5578639\]
又已知基于 Silverman 经验法则的核密度估计带宽公式为：\[h = 1.06 \cdot \hat{\sigma} \cdot n^{-1/5}.\] 真钞与假钞的样本量 n 均为100
则使用R构造函数计算可得真钞与假钞对角线变量的最优选定带宽分别为 \[h _{genuine}=0.1886312 ,\quad h_{counterfeit}=0.235415 \]
图 \ref{fig:kde} 展示了真钞与假钞对角线变量的核密度估计曲线。
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{C:/Users/35297/Documents/Rplot10.png}
\caption{核密度估计对比图}
\label{fig:kde}
\end{figure}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 为这两组 (真钞、假钞) 数据设置同一个带宽会更好吗?
{\color{red} 【解】}由上一题计算得出这两组数据的最优带宽不同。由于真钞与假钞样本量相同，我们对这两组带宽取均值得 \[\overline{h}=\frac{1}{2}\times(h _genuine=0.1886312 + h_counterfeit=0.235415)=0.2120231\approx0.212 \]
以这一带宽画出对角线变量的核密度估计的图形
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{C:/Users/35297/Documents/Rplot08.png}
\caption{核密度估计图（使用同一带宽）}
\label{fig:kde}
\end{figure}
再将图1.1与图1.2重叠画出对比图
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{C:/Users/35297/Documents/Rplot09.png}
\caption{核密度估计图（各自最优带宽VS同一带宽）}
\label{fig:kde}
\end{figure}
可知设置同一的带宽变化不大，不会更好。
\end{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 设 $\left| \mathcal{A} \right| = 0$. 问矩阵 $\mathcal{A}$ 的所有特征值都有可能是正数吗?
{\color{red} 【解】} 不可能。若 $|\mathcal{A}| = 0$，则 $\mathcal{A}$ 必有一个特征值为 $0$，因此所有特征值不可能都是正数。
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 设矩阵 $\mathcal{A}$ (方阵) 的所有特征值都不为零. 问矩阵 $\mathcal{A}$ 是否一定可逆?
{\color{red} 【解】} 一定可逆。若所有特征值都不为零，则 $\det(\mathcal{A}) = \prod \lambda_i \neq 0$，故 $\mathcal{A}$ 可逆。
\item 设有矩阵 $\mathcal{A}$ 如下:
\begin{equation}
\mathcal{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 利用 R 计算矩阵 $\mathcal{A}$ 的行列式 $\left| \mathcal{A} \right|$.
{\color{red} 【解】}计算出来 \verb|det_A = -8|
\begin{verbatim}
A <- matrix(c(1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1), nrow = 3, byrow = TRUE)
det_A <- det(A)
print(det_A)
\end{verbatim}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 利用 R 求矩阵 $\mathcal{A}$ 的特征值与特征向量.
{\color{red} 【解】}特征值: \verb|5.372281, -0.372281, -2.000000|;
特征向量: 对应列向量。
\begin{verbatim}
eig <- eigen(A)
values <- eig$values
vectors <- eig$vectors
print(values)
print(vectors)
\end{verbatim}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 利用 R 验证矩阵 $\mathcal{A}$ 的 Jordan 分解 (定理 2.1).
{\color{red} 【解】}代码运行结果表明 \verb|A_recovered| 与原始矩阵 \verb|A| 在数值精度内相等，说明 $\mathcal{A}$ 可对角化，Jordan 分解即为其谱分解。
\begin{verbatim}
P <- vectors
D <- diag(values)
P_inv <- solve(P)
A_recovered <- P %*% D %*% P_inv
# 检查是否与原矩阵相等（允许数值误差）
all.equal(A, A_recovered)
\end{verbatim}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}