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%% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\title{\Huge \bf 《多元统计分析》课后作业}
\author{\kaishu 姓名：\underline{\quad 李倩倩 \quad} \\[5mm]
\kaishu 学号：\underline{\quad 2024017349 \quad} \\[5mm]
\kaishu 班级：\underline{\quad 统计 24-1 班 \quad} \\[50mm]
\kaishu 中国石油大学（北京）克拉玛依校区文理学院数学与统计系
}
\date{\today}
\begin{document}
% -------------------------------------------- 封面页 --------------------------------------------
\frontmatter
\maketitle
% -------------------------------------------- 作业要求 --------------------------------------------
\chapter{作业要求}
\begin{enumerate}
\item 可以和其他同学讨论作业当中的问题，但应当自己独立完成作业
\item 计算、证明等要有过程，要有主要步骤的说明
\item 请将计算、绘图所用的 R 代码以及生成的结果和图像一并添加在作业文件当中
\item 请使用 \LaTeX 编辑并生成 PDF 格式的文件，第 X 周作业文件命名方式：学号-姓名-X.pdf
\item 评分标准：每一问得分 $\in \left\{ 2 ,\, 1 ,\, 0 \right\}$
\begin{itemize}
\item 2:~ 按时完成并上交作业，且答案基本正确
\item 1:~ 按时完成并上交作业，且答案部分正确
\item 0:~ 答案完全错误，或者迟交作业(规定时间72小时之后)
\end{itemize}
\item 请将完成的 PDF 格式的作业文件发送至邮箱：xiaolei@cup.edu.cn
\item 每位同学可以有一次迟交作业的机会，但不得晚于规定时间三日之后
\item 第 5 周作业截止时间：2026年4月17日24:00
\end{enumerate}
\tableofcontents
% -------------------------------------------- 正文部分 --------------------------------------------
\mainmatter
% -------------------------------------------- 第 5 周作业 --------------------------------------------
\chapter{第 5 周作业}
{\kaishu \color{blue} 第 5 周作业截止时间：} 2026年4月17日24:00
{\kaishu \color{blue} 第 5 周作业完成时间：} \today \space \currenttime % 请勿编辑、删除本行！
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 假设 $\boldsymbol{X} \sim N_2 (\boldsymbol{\mu} \,,\, \mathnormal{\Sigma})$，其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mu} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \,, \qquad \mathnormal{\Sigma} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
令
\begin{equation}
\mathcal{A} = \left( 1 \,,\, 1 \right) \,, \qquad \mathcal{B} = \left( 1 \,,\, -1 \right)
\end{equation}
证明 $\mathcal{A} \, \boldsymbol{X}$ 与 $\mathcal{B} \, \boldsymbol{X}$ 相互独立.
{\color{red} \heiti 【证明】}
\item 假设
\begin{equation}
\boldsymbol{X} \sim N_2 \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \,,\, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \right) \,,\quad
\left( \boldsymbol{Y} \left| \boldsymbol{X} \right. \right) \sim N_2 \left( \begin{pmatrix} X_1 \\ X_1 + X_2 \end{pmatrix} \,,\, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right)
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 确定 $Y_2 \left| \, Y_1 \right.$ 的分布.
{\color{red} \heiti 【解】}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 确定 $\boldsymbol{W} = \boldsymbol{X} - \boldsymbol{Y}$ 的分布.
{\color{red} \heiti 【解】}
\end{enumerate}
\item 假设
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \end{array} \right) \sim N_3 ( \boldsymbol{\mu} \,,\, \mathnormal{\Sigma})
\end{equation}
若已知
\begin{align}
Y \left| \, Z \right. & \sim N_1 (-Z \,,\, 1) \\[2mm]
\mu_{_{Z \left| Y \right.}} & = - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} Y \\[2mm]
(X \left| \, Y \,,\, Z \right. ) &\sim N_1 (2 + 2Y + 3Z \,,\, 1)
\end{align}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $\boldsymbol{\mu}$ 和 $\mathnormal{\Sigma}$.
{\color{red} \heiti 【解】}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 确定 $X \left| \, Y \right.$ 的分布.
{\color{red} \heiti 【解】}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 确定 $X \left| \, Y + Z \right.$ 的分布.
{\color{red} \heiti 【解】}
\end{enumerate}
\item 已知
\begin{align}
Z & \sim N_1 (0 \,,\, 1) \\[2mm]
Y \left| \, Z \right. & \sim N_1 (1 + Z \,,\, 1) \\[2mm]
( X \left| \, Y \,,\, Z \right. ) & \sim N_1 (1 - Y \,,\, 1)
\end{align}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 确定 $\left( \begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \end{array} \right)$ 的分布.
{\color{red} \heiti 【解】}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 确定 $( Y \left| \, X \,,\, Z \right. )$ 的分布.
{\color{red} \heiti 【解】}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 确定 $\left( \begin{array}{c} U \\ V \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 + Z \\ 1 - Y \end{array} \right)$ 的分布.
{\color{red} \heiti 【解】}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $\mathbb{E} \left( Y \left| \, U = 2 \right. \right)$.
{\color{red} \heiti 【解】}
\end{enumerate}
\item 已知
\begin{equation}
\boldsymbol{X} \sim N_3 \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \,,\,
\left( \begin{array}{rrr} 11 & -6 & 2 \\ -6 & 10 & -4 \\ 2 & -4 & 6 \end{array} \right) \right)
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 利用 $X_1$ 与 $X_2$ 的一个线性函数，求 $X_3$ 的最佳线性逼近.
{\color{red} \heiti 【解】}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $X_3$ 与 $\left( X_1 \,,\, X_2 \right)$ 的多重相关系数.
{\color{red} \heiti 【解】}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 令 $Z_1 = X_2 - X_3$，$Z_2 = X_2 + X_3$，如果 $\left( Z_3 \left| \, Z_1 \,,\, Z_2 \right. \right) \sim N_1 \left( Z_1 + Z_2 \,,\, 10 \right)$，
确定 $\left( \begin{array}{c} Z_1 \\ Z_2 \\ Z_3 \end{array} \right)$ 的分布.
{\color{red} \heiti 【解】}
\end{enumerate}
\item 假设 $(X \,,\, Y \,,\, Z)^{\rm T}$ 服从三维正态分布，且
\begin{align}
(Y \left| \, Z \right. ) & \sim N_1 (2Z \,,\, 24) \\[2mm]
(Z \left| \, X \right. ) & \sim N_1 (2X + 3 \,,\, 14) \\[2mm]
X & \sim N_1 (1 \,,\, 4) \\[2mm]
\rho_{_{XY}} & = 0.5
\end{align}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 确定 $(X \,,\, Y \,,\, Z)^{\rm T}$ 的分布.
{\color{red} \heiti 【解】}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 对于给定的 $Z$ 值，计算 $X$ 与 $Y$ 的偏相关系数.
{\color{red} \heiti 【解】}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 你认为利用 $Y$ 和 $Z$ 的一个线性函数逼近 $X$ 是否合理?
{\color{red} \heiti 【解】}
\end{enumerate}
\item 设
\begin{equation}
\boldsymbol{X} \sim N_4 \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \,,\,
\left( \begin{array}{rrrr} 4 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 16 & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 9 \end{array} \right) \right)
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 给出用 $\left( X_1 \,,\, X_4 \right)$ 的一个函数对 $X_2$ 的最佳线性逼近，并解释逼近的效果.
{\color{red} \heiti 【解】}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 给出用 $\left( X_1 \,,\, X_3 \,,\, X_4 \right)$ 的一个函数对 $X_2$ 的最佳线性逼近，与 (a) 的结果进行对比.
{\color{red} \heiti 【解】}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}