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%% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\title{\Huge \bf 《多元统计分析》课后作业}
\author{\kaishu 姓名：\underline{\quad 李倩倩 \quad} \\[5mm]
\kaishu 学号：\underline{\quad 2024017349 \quad} \\[5mm]
\kaishu 班级：\underline{\quad 统计 24-1 班 \quad} \\[50mm]
\kaishu 中国石油大学（北京）克拉玛依校区文理学院数学与统计系
}
\date{\today}
\begin{document}
% -------------------------------------------- 封面页 --------------------------------------------
\frontmatter
\maketitle
% -------------------------------------------- 作业要求 --------------------------------------------
\chapter{作业要求}
\begin{enumerate}
\item 可以和其他同学讨论作业当中的问题，但应当自己独立完成作业
\item 计算、证明等要有过程，要有主要步骤的说明
\item 请将计算、绘图所用的 R 代码以及生成的结果和图像一并添加在作业文件当中
\item 请使用 \LaTeX 编辑并生成 PDF 格式的文件，第X周作业文件命名方式：学号-姓名-X.pdf
\item 评分标准：每一问得分 $\in \left\{ 2 ,\, 1 ,\, 0 \right\}$
\begin{itemize}
\item 2:~ 按时完成并上交作业，且答案基本正确
\item 1:~ 按时完成并上交作业，且答案部分正确
\item 0:~ 答案完全错误，或者迟交作业(规定时间72小时之后)
\end{itemize}
\item 请将完成的 PDF 格式的作业文件发送至邮箱：xiaolei@cup.edu.cn
\item 每位同学可以有一次迟交作业的机会，但不得晚于规定时间三日之后
\item 第2周作业截止时间：2026年3月27日24:00
\end{enumerate}
\tableofcontents
% -------------------------------------------- 正文部分 --------------------------------------------
\mainmatter
% -------------------------------------------- 第 3 周作业 --------------------------------------------
\chapter{第 3 周作业}
{\kaishu \color{blue} 第 3 周作业完成时间：} \today \space \currenttime % 请勿编辑、删除本行！
\vspace{10mm}
\begin{enumerate}
\item 设 $\boldsymbol{X} = \left( X_1 \,,\, X_2 \right)^{\rm T}$ 是二维随机向量，且
\begin{equation*}
\mathbb{E} (\boldsymbol{X}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,, \quad \mathbb{V}{\rm ar} (\boldsymbol{X}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 定义 $Y = X_1 + X_2$，则 $Y$ 是 $\boldsymbol{X}$ 的一个线性变换，写出变换矩阵 $\mathcal{A}$.
{\color{red} \heiti 【解】} 由于 $Y = X_1 + X_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix}$，故变换矩阵为
\[
\mathcal{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}.
\]
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $\mathbb{V}{\rm ar} (Y)$.
{\color{red} \heiti 【解】} 由协方差矩阵的线性变换性质，
\[
\mathbb{V}{\rm ar}(Y) = \mathcal{A} \, \mathbb{V}{\rm ar}(\boldsymbol{X}) \, \mathcal{A}^{\rm T}
= \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
= 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 3.
\]
因此 $\mathbb{V}{\rm ar}(Y) = 3$.
\end{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 设 $\boldsymbol{X} = \left( X_1 \,,\, X_2 \right)^{\rm T}$ 的联合概率密度函数为
\begin{equation}
f \left( x_1 \,,\, x_2 \right) = \begin{cases} {\rm e}^{-\left( x_1 + x_2 \right)} \,, & x_1 > 0 \,,\, x_2 > 0 \\ 0 \,, & \text{其它} \end{cases}
\end{equation}
令 $U_1 = X_1 + X_2$，$U_2 = X_1 - X_2$，求 $\boldsymbol{U} = \left( U_1 \,,\, U_2 \right)^{\rm T}$ 的联合概率密度函数.
{\color{red} \heiti 【解】} 由
\[
\begin{cases}
u_1 = x_1 + x_2, \\
u_2 = x_1 - x_2.
\end{cases}
\]
反解出 $x_1, x_2$ ：
\[
x_1 = \frac{u_1 + u_2}{2}, \qquad x_2 = \frac{u_1 - u_2}{2}.
\]
计算雅可比行列式的绝对值：
\[
J = \left| \frac{\partial(x_1,x_2)}{\partial(u_1,u_2)} \right| =
\left| \det \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[4pt]
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix} \right|
= \left| -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right| = \frac{1}{2}.
\]
原密度非零区域为 $x_1>0,\; x_2>0$，即
\[
\frac{u_1+u_2}{2} > 0 \quad \text{且} \quad \frac{u_1-u_2}{2} > 0,
\]
等价于 $u_1+u_2>0$ 且 $u_1-u_2>0$，亦即 $u_1 > |u_2|$。同时由 $u_1=x_1+x_2>0$ 自动满足。因此变换后 $(u_1,u_2)$ 的定义域为 $\{ (u_1,u_2) \mid u_1 > 0,\; -u_1 < u_2 < u_1 \}$。
联合密度函数为
\[
f_{U}(u_1,u_2) = f_X\!\left( \frac{u_1+u_2}{2}, \frac{u_1-u_2}{2} \right) \cdot |J|
= \mathrm{e}^{-\left( \frac{u_1+u_2}{2} + \frac{u_1-u_2}{2} \right)} \cdot \frac{1}{2}
= \mathrm{e}^{-u_1} \cdot \frac{1}{2},
\]
在定义域内成立；否则为 $0$。故
\[
f_{U}(u_1,u_2) = \begin{cases}
\dfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-u_1}, & u_1 > 0,\; |u_2| < u_1, \\[6pt]
0, & \text{其它}.
\end{cases}
\]
\item 假设
\begin{equation}
f \left( x_1 \,,\, x_2 \,,\, x_3 \right) = \begin{cases} k \, \left( x_1 + x_2 \, x_3 \right) \,, & 0 < x_1 \,,\, x_2 \,,\, x_3 < 1 \\ 0 \,, & \text{其它} \end{cases}
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 确定 $k$ 的值，使得 $f$ 是 $\boldsymbol{X} = \left( X_1 \,,\, X_2 \,,\, X_3 \right)^{\rm T}$ 的概率密度函数.
{\color{red} \heiti 【解】} 由归一性：
\[
\iiint_{\mathbb{R}^3} f(x_1,x_2,x_3)\,\mathrm dx_1\mathrm dx_2\mathrm dx_3 = 1.
\]
计算积分：
\[
\int_0^1\!\!\int_0^1\!\!\int_0^1 (x_1 + x_2x_3)\,\mathrm dx_1\mathrm dx_2\mathrm dx_3
= \int_0^1\!\!\int_0^1 \Bigl[\frac12 x_1^2 + x_2x_3x_1\Bigr]_{x_1=0}^1 \mathrm dx_2\mathrm dx_3
= \int_0^1\!\!\int_0^1 \Bigl(\frac12 + x_2x_3\Bigr)\mathrm dx_2\mathrm dx_3.
\]
\[
= \int_0^1 \Bigl[\frac12 x_2 + \frac12 x_2^2 x_3\Bigr]_{x_2=0}^1 \mathrm dx_3
= \int_0^1 \Bigl(\frac12 + \frac12 x_3\Bigr)\mathrm dx_3
= \Bigl[\frac12 x_3 + \frac14 x_3^2\Bigr]_0^1 = \frac12 + \frac14 = \frac34.
\]
故 \(k \cdot \frac34 = 1\)，解得
\[
k = \frac43.
\]
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $\Sigma_{\boldsymbol{X}} = \mathbb{V}{\rm ar} (\boldsymbol{X})$.
{\color{red} \heiti 【解】} 先计算各一阶矩。由于密度为 \(\frac43(x_1+x_2x_3)\) 在单位立方体上，积分可分解。
\[
\begin{aligned}
\mathbb{E}[X_1] &= \frac43 \iiint x_1(x_1+x_2x_3)\,\mathrm dV = \frac43\Bigl(\int_0^1 x_1^2\mathrm dx_1 + \int_0^1 x_1\mathrm dx_1\int_0^1 x_2\mathrm dx_2\int_0^1 x_3\mathrm dx_3\Bigr) \\
&= \frac43\Bigl(\frac13 + \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\Bigr) = \frac43\Bigl(\frac13+\frac18\Bigr) = \frac43\cdot\frac{11}{24} = \frac{11}{18}.
\end{aligned}
\]
由对称性（\(x_2\)与\(x_3\)对称）：
\[
\mathbb{E}[X_2] = \mathbb{E}[X_3] = \frac43\iiint x_2(x_1+x_2x_3)\,\mathrm dV = \frac43\Bigl(\frac12\cdot\frac12\cdot1 + \frac13\cdot\frac12\cdot1\Bigr) = \frac43\Bigl(\frac14+\frac16\Bigr) = \frac43\cdot\frac{5}{12} = \frac59.
\]
二阶矩：
\[
\begin{aligned}
\mathbb{E}[X_1^2] &= \frac43\iiint x_1^2(x_1+x_2x_3) = \frac43\Bigl(\frac14 + \frac13\cdot\frac12\cdot\frac12\Bigr) = \frac43\Bigl(\frac14+\frac1{12}\Bigr) = \frac43\cdot\frac13 = \frac49,\\[4pt]
\mathbb{E}[X_2^2] &= \frac43\iiint x_2^2(x_1+x_2x_3) = \frac43\Bigl(\frac13\cdot\frac12\cdot1 + \frac14\cdot\frac12\cdot1\Bigr) = \frac43\Bigl(\frac16+\frac18\Bigr) = \frac43\cdot\frac{7}{24} = \frac{7}{18},\\[4pt]
\mathbb{E}[X_1X_2] &= \frac43\iiint x_1x_2(x_1+x_2x_3) = \frac43\Bigl(\frac13\cdot\frac12\cdot1 + \frac12\cdot\frac13\cdot\frac12\Bigr) = \frac43\Bigl(\frac16+\frac1{12}\Bigr) = \frac43\cdot\frac14 = \frac13,\\[4pt]
\mathbb{E}[X_2X_3] &= \frac43\iiint x_2x_3(x_1+x_2x_3) = \frac43\Bigl(\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12 + \frac13\cdot\frac13\cdot1\Bigr) = \frac43\Bigl(\frac18+\frac19\Bigr) = \frac43\cdot\frac{17}{72} = \frac{17}{54}.
\end{aligned}
\]
由对称性，\(\mathbb{E}[X_1X_3]=\mathbb{E}[X_1X_2]=\frac13\)，\(\mathbb{E}[X_3^2]=\frac{7}{18}\)。
计算方差与协方差：
\[
\begin{aligned}
\mathrm{Var}(X_1) &= \frac49 - \Bigl(\frac{11}{18}\Bigr)^2 = \frac49 - \frac{121}{324} = \frac{144-121}{324} = \frac{23}{324},\\[4pt]
\mathrm{Var}(X_2) &= \frac{7}{18} - \Bigl(\frac59\Bigr)^2 = \frac{7}{18} - \frac{25}{81} = \frac{63}{162} - \frac{50}{162} = \frac{13}{162},\\[4pt]
\mathrm{Cov}(X_1,X_2) &= \frac13 - \frac{11}{18}\cdot\frac59 = \frac13 - \frac{55}{162} = \frac{54-55}{162} = -\frac{1}{162},\\[4pt]
\mathrm{Cov}(X_2,X_3) &= \frac{17}{54} - \Bigl(\frac59\Bigr)^2 = \frac{17}{54} - \frac{25}{81} = \frac{51}{162} - \frac{50}{162} = \frac{1}{162}.
\end{aligned}
\]
由对称性，\(\mathrm{Cov}(X_1,X_3)=-\frac{1}{162}\)，\(\mathrm{Var}(X_3)=\frac{13}{162}\)。
因此协方差矩阵为
\[
\Sigma_{\boldsymbol{X}} = \begin{pmatrix}
\frac{23}{324} & -\frac{1}{162} & -\frac{1}{162} \\[4pt]
-\frac{1}{162} & \frac{13}{162} & \frac{1}{162} \\[4pt]
-\frac{1}{162} & \frac{1}{162} & \frac{13}{162}
\end{pmatrix}
= \frac{1}{324}\begin{pmatrix}
23 & -2 & -2 \\
-2 & 26 & 2 \\
-2 & 2 & 26
\end{pmatrix}.
\]
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 给定 $X_1 = x_1$ 时，计算 $\left( X_2 \,,\, X_3 \right)$ 的条件协方差矩阵.
{\color{red} \heiti 【解】} 先求 \(X_1\) 的边缘密度：
\[
f_{X_1}(x_1) = \int_0^1\!\!\int_0^1 \frac43(x_1+x_2x_3)\,\mathrm dx_2\mathrm dx_3 = \frac43\Bigl(x_1 + \frac14\Bigr) = \frac{4x_1+1}{3},\qquad 0<x_1<1.
\]
条件密度为
\[
f(x_2,x_3\mid x_1) = \frac{f(x_1,x_2,x_3)}{f_{X_1}(x_1)} = \frac{\frac43(x_1+x_2x_3)}{(4x_1+1)/3} = \frac{4(x_1+x_2x_3)}{4x_1+1},\quad 0<x_2,x_3<1.
\]
记 \(c = \frac{4}{4x_1+1}\)，则条件密度为 \(c(x_1+x_2x_3)\)。
计算条件期望：
\[
\begin{aligned}
\mathbb{E}[X_2\mid x_1] &= c\int_0^1\!\!\int_0^1 x_2(x_1+x_2x_3)\,\mathrm dx_2\mathrm dx_3
= c\Bigl(x_1\cdot\frac12\cdot1 + \frac13\cdot\frac12\Bigr) = c\Bigl(\frac{x_1}{2} + \frac16\Bigr),\\[4pt]
\mathbb{E}[X_3\mid x_1] &= c\Bigl(\frac{x_1}{2} + \frac16\Bigr) \quad (\text{对称}),\\[4pt]
\mathbb{E}[X_2^2\mid x_1] &= c\int_0^1\!\!\int_0^1 x_2^2(x_1+x_2x_3)\,\mathrm dx_2\mathrm dx_3
= c\Bigl(x_1\cdot\frac13\cdot1 + \frac14\cdot\frac12\Bigr) = c\Bigl(\frac{x_1}{3} + \frac18\Bigr),\\[4pt]
\mathbb{E}[X_2X_3\mid x_1] &= c\int_0^1\!\!\int_0^1 x_2x_3(x_1+x_2x_3)\,\mathrm dx_2\mathrm dx_3
= c\Bigl(x_1\cdot\frac12\cdot\frac12 + \frac13\cdot\frac13\Bigr) = c\Bigl(\frac{x_1}{4} + \frac19\Bigr).
\end{aligned}
\]
于是条件方差：
\[
\begin{aligned}
\mathrm{Var}(X_2\mid x_1) &= \mathbb{E}[X_2^2\mid x_1] - \bigl(\mathbb{E}[X_2\mid x_1]\bigr)^2
= c\Bigl(\frac{x_1}{3}+\frac18\Bigr) - c^2\Bigl(\frac{x_1}{2}+\frac16\Bigr)^2,\\
\mathrm{Var}(X_3\mid x_1) &= \text{相同},\\
\mathrm{Cov}(X_2,X_3\mid x_1) &= \mathbb{E}[X_2X_3\mid x_1] - \mathbb{E}[X_2\mid x_1]\mathbb{E}[X_3\mid x_1] \\
&= c\Bigl(\frac{x_1}{4}+\frac19\Bigr) - c^2\Bigl(\frac{x_1}{2}+\frac16\Bigr)^2.
\end{aligned}
\]
其中 \(c = \dfrac{4}{4x_1+1}\)。故条件协方差矩阵为
\[
\begin{pmatrix}
\mathrm{Var}(X_2\mid x_1) & \mathrm{Cov}(X_2,X_3\mid x_1) \\
\mathrm{Cov}(X_2,X_3\mid x_1) & \mathrm{Var}(X_3\mid x_1)
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
A & B \\ B & A
\end{pmatrix},
\]
其中
\[
A = \frac{4}{4x_1+1}\Bigl(\frac{x_1}{3}+\frac18\Bigr) - \frac{16}{(4x_1+1)^2}\Bigl(\frac{x_1}{2}+\frac16\Bigr)^2,\qquad
B = \frac{4}{4x_1+1}\Bigl(\frac{x_1}{4}+\frac19\Bigr) - \frac{16}{(4x_1+1)^2}\Bigl(\frac{x_1}{2}+\frac16\Bigr)^2.
\]
\end{enumerate}
\item 设有概率密度函数
\begin{equation}
f \left( x_1 \,,\, x_2 \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{2} \, {\rm e}^{-x_1} \,, & x_1 > \left| x_2 \right| \\ 0 \,, & \text{其它} \end{cases}
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $\mathbb{E} (\boldsymbol{X})$ 与 $\mathbb{V}{\rm ar} (\boldsymbol{X})$.
{\color{red} \heiti 【解】} 先求边缘密度。对 $x_1$ 积分：
\[
f_{X_2}(x_2) = \int_{|x_2|}^{\infty} \frac12 \mathrm{e}^{-x_1}\,\mathrm{d}x_1 = \frac12 \mathrm{e}^{-|x_2|}, \quad x_2\in\mathbb{R}.
\]
对 $x_2$ 积分：
\[
f_{X_1}(x_1) = \int_{-x_1}^{x_1} \frac12 \mathrm{e}^{-x_1}\,\mathrm{d}x_2 = x_1 \mathrm{e}^{-x_1}, \quad x_1>0.
\]
于是 $X_1 \sim \mathrm{Gamma}(2,1)$，故 $\mathbb{E}(X_1)=2$，$\mathrm{Var}(X_1)=2$。
$X_2$ 服从 Laplace 分布，密度 $\frac12\mathrm{e}^{-|x_2|}$，其均值为 $0$，方差为 $2$。
协方差：
\[
\mathbb{E}(X_1X_2) = \iint_{x_1>|x_2|} x_1x_2\cdot\frac12\mathrm{e}^{-x_1}\,\mathrm{d}x_2\mathrm{d}x_1 = 0,
\]
因为被积函数关于 $x_2$ 为奇函数且区域对称。故 $\mathrm{Cov}(X_1,X_2)=0$。
因此
\[
\mathbb{E}(\boldsymbol{X}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix},\qquad
\mathbb{V}\mathrm{ar}(\boldsymbol{X}) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
\]
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $\mathbb{E} \left( X_1 \left| X_2 \right. \right)$ 与 $\mathbb{E} \left( X_2 \left| X_1 \right. \right)$.
{\color{red} \heiti 【解】} 给定 $X_2=x_2$，条件密度为
\[
f_{X_1\mid X_2}(x_1\mid x_2) = \frac{f(x_1,x_2)}{f_{X_2}(x_2)} = \frac{\frac12\mathrm{e}^{-x_1}}{\frac12\mathrm{e}^{-|x_2|}} = \mathrm{e}^{-(x_1-|x_2|)},\quad x_1>|x_2|.
\]
即 $X_1 = |x_2| + Y$，$Y\sim\mathrm{Exp}(1)$，故
\[
\mathbb{E}(X_1\mid X_2=x_2) = |x_2| + 1.
\]
给定 $X_1=x_1$，条件密度为
\[
f_{X_2\mid X_1}(x_2\mid x_1) = \frac{f(x_1,x_2)}{f_{X_1}(x_1)} = \frac{\frac12\mathrm{e}^{-x_1}}{x_1\mathrm{e}^{-x_1}} = \frac{1}{2x_1},\quad |x_2|<x_1,
\]
即 $X_2$ 在 $(-x_1,x_1)$ 上均匀分布，因此
\[
\mathbb{E}(X_2\mid X_1=x_1) = 0.
\]
故
\[
\mathbb{E}(X_1\mid X_2) = |X_2|+1,\qquad \mathbb{E}(X_2\mid X_1)=0.
\]
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $\mathbb{V}{\rm ar} \left( X_1 \left| X_2 \right. \right)$ 与 $\mathbb{V}{\rm ar} \left( X_2 \left| X_1 \right. \right)$.
{\color{red} \heiti 【解】} 由上述分布：
\[
\mathrm{Var}(X_1\mid X_2=x_2) = \mathrm{Var}(Y)=1,\quad\text{故 } \mathbb{V}\mathrm{ar}(X_1\mid X_2)=1.
\]
均匀分布的方差：
\[
\mathrm{Var}(X_2\mid X_1=x_1) = \frac{(2x_1)^2}{12} = \frac{x_1^2}{3},\quad\text{故 } \mathbb{V}\mathrm{ar}(X_2\mid X_1)=\frac{X_1^2}{3}.
\]
\end{enumerate}
\item 设有概率密度函数
\begin{equation}
f \left( x_1 \,,\, x_2 \right) = \begin{cases} \dfrac{3}{4} \, x_1^{-\frac{1}{2}} \,, & 0 < x_1 < x_2 < 1 \\ 0 \,, & \text{其它} \end{cases}
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $\mathbb{P} \left( X_1 < 0.25 \right)$.
{\color{red} \heiti 【解】} \[
\begin{aligned}
\mathbb{P}(X_1<0.25) &= \int_{x_1=0}^{0.25} \int_{x_2=x_1}^{1} \frac34 x_1^{-1/2}\,\mathrm{d}x_2\mathrm{d}x_1 \\
&= \int_0^{0.25} \frac34 x_1^{-1/2} (1-x_1)\,\mathrm{d}x_1 \\
&= \frac34 \left( \int_0^{0.25} x_1^{-1/2}\,\mathrm{d}x_1 - \int_0^{0.25} x_1^{1/2}\,\mathrm{d}x_1 \right) \\
&= \frac34 \left( \bigl[2x_1^{1/2}\bigr]_0^{0.25} - \bigl[\frac23 x_1^{3/2}\bigr]_0^{0.25} \right) \\
&= \frac34 \left( 2\cdot0.5 - \frac23\cdot (0.5)^3 \right) \quad (\text{因为 }0.25^{1/2}=0.5,\;0.25^{3/2}=0.125) \\
&= \frac34 \left( 1 - \frac23\cdot0.125 \right) = \frac34 \left( 1 - \frac{0.25}{3} \right) = \frac34 \left( 1 - \frac{1}{12} \right) = \frac34 \cdot \frac{11}{12} = \frac{11}{16}.
\end{aligned}
\]
故 $\mathbb{P}(X_1<0.25) = \dfrac{11}{16}$.
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $\mathbb{P} \left( X_2 < 0.25 \right)$.
{\color{red} \heiti 【解】} 注意定义域要求 $x_1<x_2$，且 $x_2<0.25$，则 $x_1$ 从 $0$ 到 $x_2$：
\[
\begin{aligned}
\mathbb{P}(X_2<0.25) &= \int_{x_2=0}^{0.25} \int_{x_1=0}^{x_2} \frac34 x_1^{-1/2}\,\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2 \\
&= \int_0^{0.25} \frac34 \bigl[2x_1^{1/2}\bigr]_{0}^{x_2} \mathrm{d}x_2 = \int_0^{0.25} \frac34 \cdot 2 x_2^{1/2}\,\mathrm{d}x_2 \\
&= \frac32 \int_0^{0.25} x_2^{1/2}\,\mathrm{d}x_2 = \frac32 \cdot \frac23 \bigl[x_2^{3/2}\bigr]_0^{0.25} = (0.25)^{3/2} = 0.125 = \frac18.
\end{aligned}
\]
故 $\mathbb{P}(X_2<0.25) = \dfrac18$.
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $\mathbb{P} \left( X_2 < 0.25 \left| \, X_1 < 0.25 \right. \right)$.
{\color{red} \heiti 【解】} 条件概率为
\[
\mathbb{P}(X_2<0.25\mid X_1<0.25) = \frac{\mathbb{P}(X_2<0.25,\; X_1<0.25)}{\mathbb{P}(X_1<0.25)}.
\]
分子为区域 $\{0<x_1<0.25,\; x_1<x_2<0.25\}$ 上的积分：
\[
\begin{aligned}
\mathbb{P}(X_2<0.25,\; X_1<0.25) &= \int_{x_1=0}^{0.25} \int_{x_2=x_1}^{0.25} \frac34 x_1^{-1/2}\,\mathrm{d}x_2\mathrm{d}x_1 \\
&= \int_0^{0.25} \frac34 x_1^{-1/2} (0.25 - x_1)\,\mathrm{d}x_1 \\
&= \frac34 \left( 0.25\int_0^{0.25} x_1^{-1/2}\mathrm{d}x_1 - \int_0^{0.25} x_1^{1/2}\mathrm{d}x_1 \right) \\
&= \frac34 \left( 0.25\cdot 2\cdot0.5 - \frac23 (0.25)^{3/2} \right) \\
&= \frac34 \left( 0.25 - \frac23\cdot0.125 \right) = \frac34 \left( 0.25 - \frac{0.25}{3} \right) = \frac34 \cdot \frac{0.5}{3} = \frac34 \cdot \frac16 = \frac{3}{24} = \frac18.
\end{aligned}
\]
分母为 $\frac{11}{16}$，因此
\[
\mathbb{P}(X_2<0.25\mid X_1<0.25) = \frac{1/8}{11/16} = \frac{1}{8}\cdot\frac{16}{11} = \frac{2}{11}.
\]
\end{enumerate}
\item 设 $\boldsymbol{X} \sim N_2 ( \boldsymbol{\mu} ,\, \mathnormal{\Sigma} )$，其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mu} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \,, \qquad \mathnormal{\Sigma} = \begin{pmatrix} 2 & a \\ a & 2 \end{pmatrix} \,.
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 当 $a = 0 ,\, -\dfrac{1}{2} ,\, +\dfrac{1}{2} ,\, 1$ 时，分别作 $\boldsymbol{X}$ 的密度曲面的等值线椭圆的图形.
{\color{blue} \kaishu 注意：要给出代码以及对应的图形！}
{\color{red} \heiti 【解】} 使用 ellipse 包生成椭圆上的点。等值线椭圆方程：
\[
(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf T} \Sigma^{-1} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}) = \chi^2_{2}(0.5) \quad (\text{或固定半径})
\]
为展示形状，选取 $c = \chi^2_{2}(0.5) \approx 1.386$。代码如下：
\begin{verbatim}
library(ellipse)
mu <- c(1, 2)
a_vals <- c(0, -0.5, 0.5, 1)
par(mfrow = c(2,2), mar = c(4,4,2,1))
for (a in a_vals) {
Sigma <- matrix(c(2, a, a, 2), nrow = 2)
radius <- sqrt(qchisq(0.5, 2))
ell_pts <- ellipse::ellipse(x = Sigma, centre = mu, level = 0.5)
plot(ell_pts, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
xlim = c(-2,4), ylim = c(-1,5), asp = 1,
main = paste("a =", a), xlab = "x1", ylab = "x2")
points(mu[1], mu[2], pch = 19, col = "red")
}
\end{verbatim}
运行后得到四个子图：
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{C:/Users/35297/Documents/Rplot11.png}
\caption{a取不同值时$\boldsymbol{X}$ 的密度曲面的等值线椭圆}
\label{fig:kde}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item $a=0$：正圆（独立同方差）。
\item $a=0.5$：椭圆长轴沿 $x_1=x_2$ 方向（正相关）。
\item $a=-0.5$：椭圆长轴沿 $x_1=-x_2$ 方向（负相关）。
\item $a=1$：椭圆最扁长（接近退化）。
\end{itemize}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 对 $a = \dfrac{1}{2}$，确定以$\boldsymbol{\mu}$ 为中心的 $\boldsymbol{X}$ 的区域，该区域以 $0.90$ 的概率覆盖真实参数 $\boldsymbol{\mu}$，
画出该区域的图形.
{\color{red} \heiti 【解】} 对于 $a=1/2$，$\Sigma = \begin{pmatrix} 2 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}$。$90\%$ 概率区域为
\[
\bigl\{ \boldsymbol{x} : (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf T} \Sigma^{-1} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}) \le \chi^2_{2}(0.9) \bigr\},
\]
其中 $\chi^2_{2}(0.9) \approx 4.60517$。使用 ellipse 包绘制：
\begin{verbatim}
library(ellipse)
mu <- c(1, 2)
a <- 0.5
Sigma <- matrix(c(2, a, a, 2), nrow = 2)
ell_pts <- ellipse::ellipse(x = Sigma, centre = mu, level = 0.9)
plot(ell_pts, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
xlim = c(-2,4), ylim = c(-1,5), asp = 1,
main = "90% Probability Ellipse (a=0.5) ",
xlab = "x1", ylab = "x2")
points(mu[1], mu[2], pch = 19, col = "red")
\end{verbatim}
图形为一个中心在 $(1,2)$ 的椭圆，覆盖了 $\boldsymbol{X}$ 的 $90\%$ 可能取值。
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{C:/Users/35297/Documents/Rplot12.png}
\caption{0.90 Probability Ellipse (a=0.5) }
\label{fig:kde}
\end{figure}
\end{enumerate}
\item 设有概率密度函数
\begin{equation}
f \left( x_1 \,,\, x_2 \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{8x_2} \, {\rm e}^{-\left( \frac{x_1}{2x_2} + \frac{x_2}{4} \right)} \,, & x_1 \,,\, x_2 >0 \\ 0 \,, & \text{其它} \end{cases}
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $f_{X_2} \left( x_2 \right)$.
{\color{red} \heiti 【解】} 对 $x_1$ 积分：
\[
\begin{aligned}
f_{X_2}(x_2) &= \int_0^{\infty} \frac{1}{8x_2}\,\mathrm{e}^{-\left(\frac{x_1}{2x_2}+\frac{x_2}{4}\right)}\,\mathrm{d}x_1 \\
&= \frac{1}{8x_2}\,\mathrm{e}^{-x_2/4} \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x_1/(2x_2)}\,\mathrm{d}x_1 \\
&= \frac{1}{8x_2}\,\mathrm{e}^{-x_2/4} \cdot 2x_2 = \frac{1}{4}\,\mathrm{e}^{-x_2/4}, \quad x_2>0.
\end{aligned}
\]
故 $X_2 \sim \mathrm{Exp}(1/4)$，即 $f_{X_2}(x_2)=\frac14\mathrm{e}^{-x_2/4}$.
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $f \left( x_1 \left| x_2 \right. \right)$.
{\color{red} \heiti 【解】} 由条件密度公式：
\[
f(x_1\mid x_2) = \frac{f(x_1,x_2)}{f_{X_2}(x_2)} = \frac{\frac{1}{8x_2}\mathrm{e}^{-(x_1/(2x_2)+x_2/4)}}{\frac14\mathrm{e}^{-x_2/4}} = \frac{1}{2x_2}\,\mathrm{e}^{-x_1/(2x_2)},\quad x_1>0.
\]
即 $X_1\mid X_2=x_2 \sim \mathrm{Exp}(1/(2x_2))$，均值为 $2x_2$.
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 给出利用 $X_2$ 的一个函数对 $X_1$ 的最佳逼近.
{\color{red} \heiti 【解】} 最佳逼近为条件期望 $\mathbb{E}(X_1\mid X_2)$。由指数分布均值：
\[
\mathbb{E}(X_1\mid X_2) = 2X_2.
\]
\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算最佳逼近的误差的方差.
{\color{red} \heiti 【解】} 误差方差为条件方差 $\mathbb{V}\mathrm{ar}(X_1\mid X_2)$。指数分布方差等于均值的平方：
\[
\mathbb{V}\mathrm{ar}(X_1\mid X_2) = (2X_2)^2 = 4X_2^2.
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}