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<title>实变函数与泛函分析 — 教案（第一至四章）</title>
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<h2>实变函数与泛函分析</h2>
<ul>
<li><a href="#ch1">第一章 集合论</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch1-sets">基本概念与运算</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch1-map">映射与关系</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch1-card">基数理论</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch1-count">可数集与不可数集</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch1-err">易错点</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch1-exam">考题示例</a></li>
<li><a href="#ch2">第二章 点集拓扑</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch2-top">基本拓扑概念</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch2-closed">闭集与聚点</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch2-cantor">完全集与Cantor集</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch2-borel">Borel集</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch2-baire">Baire纲定理</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch2-err">易错点</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch2-exam">考题示例</a></li>
<li><a href="#ch3">第三章 测度论</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch3-outer">Lebesgue外测度</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch3-meas">可测集与σ-代数</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch3-prop">测度性质</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch3-vitali">非可测集</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch3-err">易错点</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch3-exam">考题示例</a></li>
<li><a href="#ch4">第四章 可测函数</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch4-def">可测函数定义</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch4-simple">简单函数逼近</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch4-conv">收敛模式</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch4-egorov">Egorov定理</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch4-lusin">Lusin定理</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch4-err">易错点</a></li>
<li class="sub"><a href="#ch4-exam">考题示例</a></li>
<li><a href="#mindmap">思维导图</a></li>
<li><a href="#connections">跨学科联系</a></li>
<li><a href="#applications">实际应用</a></li>
</ul>
</nav>
<div id="main">
<h1 class="page-title">实变函数与泛函分析 — 完整教案（第一至四章）</h1>
<p class="note">授课对象：大二数学系学生 | 本教案含所有定义、定理、完整证明、易错点、考题及思维导图</p>
<!-- ===================== CHAPTER 1 ===================== -->
<h2 class="chapter" id="ch1">第一章 集合论</h2>
<h3 class="section" id="ch1-sets">1.1 集合的基本概念与运算</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 1.1 — 集合（朴素集合论）</div>
<p>将若干确定的、互相区别的对象汇集成一个整体，称为<strong>集合</strong>（set），其中每个对象称为该集合的<strong>元素</strong>（element）。</p>
<p>记号：\(a \in A\)（\(a\) 是 \(A\) 的元素），\(b \notin A\)（\(b\) 不是 \(A\) 的元素）；空集 \(\varnothing\)。</p>
</div>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 1.2 — 集合运算</div>
<ul>
<li><strong>并集</strong>：\(A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}\)</li>
<li><strong>交集</strong>：\(A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}\)</li>
<li><strong>差集</strong>：\(A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\}\)</li>
<li><strong>余集</strong>（在全集 \(X\) 中）：\(A^c = X \setminus A\)</li>
<li><strong>对称差</strong>：\(A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\)</li>
<li><strong>Cartesian 积</strong>：\(A \times B = \{(a,b) \mid a \in A,\ b \in B\}\)</li>
</ul>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 1.1 — De Morgan 定律</div>
<p>设 \(\{A_\alpha\}_{\alpha \in I}\) 为一族集合，则</p>
\[\left(\bigcup_{\alpha} A_\alpha\right)^c = \bigcap_{\alpha} A_\alpha^c, \qquad \left(\bigcap_{\alpha} A_\alpha\right)^c = \bigcup_{\alpha} A_\alpha^c.\]
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（De Morgan 定律）</div>
<p>仅证第一式。设 \(x \in \left(\bigcup_\alpha A_\alpha\right)^c\)，则 \(x \notin \bigcup_\alpha A_\alpha\)，即对所有 \(\alpha\)，\(x \notin A_\alpha\)，即对所有 \(\alpha\)，\(x \in A_\alpha^c\)，即 \(x \in \bigcap_\alpha A_\alpha^c\)。反向同理。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 1.2 — 极限集的表示（上极限与下极限）</div>
<p>对集合序列 \(\{A_n\}\)：</p>
\[\limsup_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k, \qquad \liminf_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k.\]
<p>\(\limsup A_n\) 由属于无穷多个 \(A_n\) 的点组成；\(\liminf A_n\) 由属于所有充分大的 \(A_n\) 的点组成。若 \(\limsup A_n = \liminf A_n\)，则极限存在。</p>
</div>
<h3 class="section" id="ch1-map">1.2 映射与关系</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 1.3 — 映射的类型</div>
<ul>
<li><strong>单射（injective）</strong>：\(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2\)</li>
<li><strong>满射（surjective）</strong>：\(\forall y \in B,\ \exists x \in A,\ f(x)=y\)</li>
<li><strong>双射（bijection）</strong>：既单又满</li>
<li><strong>等价关系</strong>：满足自反性、对称性、传递性的二元关系</li>
</ul>
</div>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 1.4 — 集合的等价（对等）</div>
<p>若存在从 \(A\) 到 \(B\) 的双射，则称 \(A\) 与 \(B\) <strong>对等</strong>，记作 \(A \sim B\)。</p>
<p>"对等"是等价关系（自反、对称、传递）。</p>
</div>
<h3 class="section" id="ch1-card">1.3 基数理论</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 1.5 — 有限集与无限集；可数集</div>
<p>与某个 \(\{1,2,\ldots,n\}\) 对等的集合称为<strong>有限集</strong>，否则为<strong>无限集</strong>。</p>
<p>与 \(\mathbb{N}\) 对等的集合称为<strong>可数集（countably infinite）</strong>；有限集与可数集统称<strong>至多可数集</strong>。</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 1.3 — 可数集的性质</div>
<ol>
<li>可数集的任何无限子集仍是可数集。</li>
<li>有限个或可数个可数集的并仍是可数集。</li>
<li>\(\mathbb{Z},\ \mathbb{Q}\) 都是可数集；\(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) 是可数集。</li>
</ol>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（\(\mathbb{Q}\) 是可数集）</div>
<p>将 \(\mathbb{Q}^+\) 中的元素 \(p/q\)（最简分数，\(p,q \in \mathbb{N}^+\)）按 \(p+q\) 的大小排列，同 \(p+q\) 值的按 \(p\) 的大小排列，得到序列：\(\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{1}{3}, \frac{3}{1}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{4}{1}, \ldots\) 这给出 \(\mathbb{Q}^+\) 与 \(\mathbb{N}\) 的双射。对 \(\mathbb{Q}^-\) 和 \(\{0\}\) 类似处理，得 \(\mathbb{Q}\) 可数。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 1.4 — Cantor–Bernstein–Schröder 定理</div>
<p>若 \(A \sim B_1 \subseteq B\) 且 \(B \sim A_1 \subseteq A\)，则 \(A \sim B\)。</p>
<p>（等价表述：若 \(|A| \leq |B|\) 且 \(|B| \leq |A|\)，则 \(|A| = |B|\)。）</p>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（Cantor–Bernstein）</div>
<p>设 \(f: A \to B_1\) 和 \(g: B \to A_1\) 均为单射。令 \(C_0 = A \setminus A_1\)，归纳定义 \(C_{n+1} = g(f(C_n))\)，令 \(C = \bigcup_{n=0}^\infty C_n\)。</p>
<p>定义 \(h: A \to B\)：若 \(x \in C\) 则 \(h(x) = f(x)\)，否则 \(h(x) = g^{-1}(x)\)（注意若 \(x \notin C\) 则 \(x \in A_1\) 且 \(x \notin \bigcup C_n\)，故 \(g^{-1}(x)\) 有定义）。验证 \(h\) 是双射即得。\(\square\)</p>
</div>
<h3 class="section" id="ch1-count">1.4 可数集与不可数集；连续统</h3>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 1.5 — Cantor 对角线论证：\(\mathbb{R}\) 不可数</div>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明</div>
<p>只需证 \((0,1)\) 不可数。假设 \((0,1)\) 可数，将其中所有元素列为 \(x_1, x_2, x_3, \ldots\)，各 \(x_n\) 的十进制展开为 \(x_n = 0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}\cdots\)</p>
<p>构造 \(y = 0.b_1 b_2 b_3 \cdots\)，其中 \(b_n = 5\) 若 \(a_{nn} \neq 5\)，\(b_n = 6\) 若 \(a_{nn} = 5\)。</p>
<p>则 \(y \in (0,1)\) 但对每个 \(n\)，\(y \neq x_n\)（因第 \(n\) 位不同）。矛盾！故 \((0,1)\) 不可数。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 1.6 — Cantor 定理：\(|A| < |\mathcal{P}(A)|\)</div>
<p>对任意集合 \(A\)，不存在从 \(A\) 到其幂集 \(\mathcal{P}(A)\) 的满射。特别地，\(|\mathbb{R}| = |\mathcal{P}(\mathbb{N})| = 2^{\aleph_0} =: \mathfrak{c}\)（连续统基数）。</p>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（Cantor 定理）</div>
<p>设 \(f: A \to \mathcal{P}(A)\) 为任意映射。令 \(B = \{a \in A \mid a \notin f(a)\}\)。若存在 \(b \in A\) 使 \(f(b) = B\)，则：</p>
<ul>
<li>若 \(b \in B\)，则由 \(B\) 的定义 \(b \notin f(b) = B\)，矛盾；</li>
<li>若 \(b \notin B\)，则 \(b \notin f(b)\)，故 \(b \in B\)，矛盾。</li>
</ul>
<p>故 \(B\) 不在 \(f\) 的值域中，\(f\) 不是满射。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 1.6 — 连续统假设（CH）</div>
<p>不存在基数 \(\kappa\) 满足 \(\aleph_0 < \kappa < \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}\)。连续统假设在 ZFC 公理系统中是独立命题（Gödel 1940 + Cohen 1963）。</p>
</div>
<div class="box err">
<div class="box-title">易错点 1</div>
<ul>
<li><strong>无限集不等于不可数集</strong>：\(\mathbb{Z},\mathbb{Q}\) 是无限集但可数；\(\mathbb{R}\) 才是不可数的。</li>
<li><strong>\(\varnothing\) 与 \(\{\varnothing\}\) 不同</strong>：空集本身是一个集合，而 \(\{\varnothing\}\) 是含有一个元素（空集）的集合，\(|\varnothing|=0,\ |\{\varnothing\}|=1\)。</li>
<li><strong>Cantor 对角线的技术细节</strong>：十进制展开的唯一性问题（\(0.999\cdots = 1.000\cdots\)），通常选取不含 0 与 9 的数字（如取 4 或 5）可规避。</li>
<li><strong>可数集之积</strong>：有限个可数集的 Cartesian 积仍可数；但 \(\mathbb{N}^\mathbb{N}\)（所有自然数序列的集合）是不可数的。</li>
<li><strong>子集基数不超过原集合</strong>：\(A \subseteq B \Rightarrow |A| \leq |B|\)，但不能随意反推 \(|B \setminus A| = |B| - |A|\)（无限基数不适用普通减法）。</li>
</ul>
</div>
<div class="box exam">
<div class="box-title">考题 1.1 — 证明 \([0,1]\) 与 \((0,1)\) 对等</div>
<p><strong>解：</strong>令 \(A = \{0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots\} \subseteq [0,1]\)，定义 \(f: [0,1] \to (0,1)\)：</p>
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{n+2} & x = \frac{1}{n},\ n \in \mathbb{N}^+ \\ \frac{1}{2} & x = 0 \\ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\ (\text{对 }x=1) \end{cases} \]
<p>更简洁地：取 \(a_0=0,\ a_1=1,\ a_n=\frac{1}{n-1}\ (n\geq 2)\)，令 \(f(a_n)=a_{n+2}\)，\(f(x)=x\) 对其余 \(x\)。验证 \(f\) 是 \([0,1]\to(0,1)\) 的双射。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box exam">
<div class="box-title">考题 1.2 — 证明代数数集是可数集</div>
<p><strong>解：</strong>整系数多项式 \(p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0\)（\(a_i \in \mathbb{Z}\)）的全体是可数集（因整系数多项式可由其有限个整数系数编码，而有限整数组的全体是可数集）。每个 \(n\) 次多项式至多有 \(n\) 个实根，故代数数集是可数多个有限集的并，仍为可数集。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box exam">
<div class="box-title">考题 1.3 — 利用 Cantor–Bernstein 证明 \(|(0,1)| = |[0,1]|\)</div>
<p><strong>解：</strong>一方面 \(f:(0,1)\to[0,1]\)，\(f(x)=x\) 是单射，故 \(|(0,1)|\leq|[0,1]|\)。另一方面 \(g:[0,1]\to(0,1)\)，\(g(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\) 是单射（值域为 \([\frac{1}{4},\frac{3}{4}]\subset(0,1)\)），故 \(|[0,1]|\leq|(0,1)|\)。由 Cantor–Bernstein 定理，\(|(0,1)|=|[0,1]|\)。\(\square\)</p>
</div>
<!-- ===================== CHAPTER 2 ===================== -->
<h2 class="chapter" id="ch2">第二章 点集拓扑</h2>
<h3 class="section" id="ch2-top">2.1 \(\mathbb{R}^n\) 中的基本拓扑概念</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 2.1 — \(\mathbb{R}^n\) 中的距离与邻域</div>
<p>在 \(\mathbb{R}^n\) 中，点 \(x=(x_1,\ldots,x_n)\) 与 \(y=(y_1,\ldots,y_n)\) 的距离：
\(|x-y| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}\)。</p>
<p>点 \(x_0\) 的 \(\delta\)-<strong>邻域</strong>：\(U(x_0, \delta) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid |x - x_0| < \delta\}\)。</p>
<p><strong>去心邻域</strong>：\(\mathring{U}(x_0,\delta) = U(x_0,\delta) \setminus \{x_0\}\)。</p>
</div>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 2.2 — 内点、外点、边界点</div>
<p>设 \(E \subseteq \mathbb{R}^n\)，\(x \in \mathbb{R}^n\)：</p>
<ul>
<li>\(x\) 是 \(E\) 的<strong>内点</strong>：\(\exists \delta > 0,\ U(x,\delta) \subseteq E\)</li>
<li>\(x\) 是 \(E\) 的<strong>外点</strong>：\(\exists \delta > 0,\ U(x,\delta) \subseteq E^c\)</li>
<li>\(x\) 是 \(E\) 的<strong>边界点</strong>：任意邻域既含 \(E\) 的点又含 \(E^c\) 的点</li>
</ul>
<p><strong>内部</strong> \(\text{int}(E) = E^\circ\)：所有内点的集合；<strong>边界</strong> \(\partial E\)：所有边界点的集合。</p>
</div>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 2.3 — 开集与闭集</div>
<ul>
<li>\(E\) 是<strong>开集</strong>：\(E\) 的每个点都是内点，即 \(E = E^\circ\)</li>
<li>\(E\) 是<strong>闭集</strong>：\(E^c\) 是开集，等价地，\(E\) 包含其所有聚点</li>
</ul>
<p>开集的性质：任意个开集的并是开集；有限个开集的交是开集。</p>
<p>闭集的性质：任意个闭集的交是闭集；有限个闭集的并是闭集。</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 2.1 — \(\mathbb{R}^n\) 中开集的结构（Lindel\"{o}f 覆盖定理）</div>
<p>\(\mathbb{R}^1\) 中每个非空开集都能写成至多可数个互不相交的开区间的并。</p>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明</div>
<p>设 \(G \subseteq \mathbb{R}\) 是非空开集。对每个 \(x \in G\)，令 \(I_x = (\alpha_x, \beta_x)\) 为包含 \(x\) 的最大开区间（\(\alpha_x = \inf\{a : (a,x)\subset G\}\)，\(\beta_x\) 类似）。则 \(G = \bigcup_{x\in G} I_x\)。不同的 \(I_x\) 要么相同要么不相交（否则其并也在 \(G\) 内且更大，矛盾最大性）。每个区间 \(I_x\) 各含一个有理数，故互不相交的区间至多可数个。\(\square\)</p>
</div>
<h3 class="section" id="ch2-closed">2.2 聚点、导集与闭包</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 2.4 — 聚点与孤立点</div>
<p>\(x\) 是集合 \(E\) 的<strong>聚点（极限点）</strong>：\(x\) 的任意去心邻域都含 \(E\) 的点，即 \(\mathring{U}(x,\delta) \cap E \neq \varnothing\) 对所有 \(\delta > 0\)。</p>
<p>\(E\) 的所有聚点构成<strong>导集</strong> \(E'\)（derived set）。</p>
<p>\(x \in E\) 且 \(x \notin E'\) 称为<strong>孤立点</strong>（isolated point）。</p>
<p><strong>闭包</strong>：\(\bar{E} = E \cup E'\)（\(E\) 加上其所有聚点）。\(E\) 是闭集当且仅当 \(E = \bar{E}\)。</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 2.2 — Bolzano–Weierstrass 定理</div>
<p>\(\mathbb{R}^n\) 中的有界无限集至少有一个聚点。</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 2.3 — Heine–Borel 定理（紧集刻画）</div>
<p>\(\mathbb{R}^n\) 中集合 \(K\) 是<strong>紧集</strong>（compact）当且仅当 \(K\) 有界且闭。</p>
</div>
<h3 class="section" id="ch2-cantor">2.3 完全集与 Cantor 集</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 2.5 — 完全集（Perfect Set）</div>
<p>集合 \(P\) 是<strong>完全集</strong>：\(P\) 是闭集且 \(P' = P\)（即 \(P\) 的每个点都是聚点，无孤立点）。</p>
</div>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 2.6 — Cantor 集的构造</div>
<p>从 \([0,1]\) 出发，反复删去每个闭区间的中间三分之一开区间：</p>
<ul>
<li>\(F_0 = [0,1]\)</li>
<li>\(F_1 = [0,\tfrac{1}{3}] \cup [\tfrac{2}{3},1]\)（删去 \((\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3})\)）</li>
<li>\(F_2 = [0,\tfrac{1}{9}]\cup[\tfrac{2}{9},\tfrac{1}{3}]\cup[\tfrac{2}{3},\tfrac{7}{9}]\cup[\tfrac{8}{9},1]\)（再各删中间三分之一）</li>
<li>\(\cdots\)，第 \(n\) 步剩余 \(2^n\) 个长度为 \(3^{-n}\) 的闭区间</li>
</ul>
\[C = \bigcap_{n=0}^\infty F_n\]
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 2.4 — Cantor 集的性质</div>
<ol>
<li>\(C\) 是完全集（无孤立点的闭集）。</li>
<li>\(C\) 不含任何区间（nowhere dense，处处稠密的余集）。</li>
<li>\(C\) 的 Lebesgue 测度为零：\(m(C) = 0\)。</li>
<li>\(|C| = \mathfrak{c}\)（不可数集！）。</li>
<li>\(C\) 与 \([0,1]\) 对等。</li>
</ol>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（Cantor 集不可数）</div>
<p>将 \(C\) 中的点用三进制表示：\(C = \{x \in [0,1] \mid x = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n},\ a_n \in \{0,2\}\}\)。</p>
<p>令 \(f: C \to [0,1]\)，将每个 \(a_n \in \{0,2\}\) 映射到 \(b_n = a_n/2 \in \{0,1\}\)，定义 \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{2^n}\)，则 \(f\) 是 \(C\) 到 \([0,1]\) 的满射，故 \(|C| \geq |[0,1]| = \mathfrak{c}\)。又 \(C \subseteq [0,1]\)，故 \(|C| = \mathfrak{c}\)。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（Cantor 集测度为零）</div>
<p>第 \(n\) 步删去 \(2^{n-1}\) 个长度为 \(3^{-n}\) 的开区间，总删去长度为：
\[\sum_{n=1}^\infty 2^{n-1} \cdot \frac{1}{3^n} = \frac{1}{3}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \frac{1/3}{1-2/3} = 1.\]
故删去部分总长为 1，\(m(C) = 1 - 1 = 0\)。\(\square\)</p>
</div>
<h3 class="section" id="ch2-borel">2.4 Borel 集：\(F_\sigma\) 与 \(G_\delta\)</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 2.7 — Borel 集族</div>
<ul>
<li>\(F_\sigma\) 集：可数个闭集的并</li>
<li>\(G_\delta\) 集：可数个开集的交</li>
<li>\(F_{\sigma\delta}\) 集：可数个 \(F_\sigma\) 集的交；\(G_{\delta\sigma}\) 集：可数个 \(G_\delta\) 集的并</li>
<li><strong>Borel \(\sigma\)-代数</strong> \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\)：由所有开集（或闭集）生成的最小 \(\sigma\)-代数</li>
</ul>
<p>层次：开集 \(\subset G_\delta \subset G_{\delta\sigma} \subset \cdots\)；闭集 \(\subset F_\sigma \subset F_{\sigma\delta} \subset \cdots\)，所有这些都包含于 Borel 集。</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 2.5 — 例子</div>
<ul>
<li>\(\mathbb{Q} = \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \{q\}\) 是 \(F_\sigma\) 集（可数个闭集的并）。</li>
<li>\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) 是 \(G_\delta\) 集（\(\mathbb{Q}\) 的余集）。</li>
<li>Cantor 集 \(C\) 是闭集，故是 \(F_\sigma\)（也是 \(G_\delta\)，因为 \(C = \bigcap F_n\)）。</li>
</ul>
</div>
<h3 class="section" id="ch2-baire">2.5 疏集与 Baire 纲定理</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 2.8 — 疏集（Nowhere Dense）与第一纲集、第二纲集</div>
<p>集合 \(E\) 是<strong>疏集（nowhere dense）</strong>：\(\overline{E}\) 无内点，即 \((\overline{E})^\circ = \varnothing\)。</p>
<p><strong>第一纲集（meager）</strong>：可数个疏集的并。</p>
<p><strong>第二纲集</strong>：不是第一纲集的集合。</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 2.6 — Baire 纲定理</div>
<p>完备度量空间（特别地，\(\mathbb{R}^n\)）不是第一纲集；等价地，可数个开稠密集的交仍是稠密集。</p>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（Baire 纲定理）</div>
<p>设 \(\{U_n\}_{n\geq 1}\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 中可数个开稠密集。设 \(V_0\) 为任意非空开集。由 \(U_1\) 稠密，\(U_1 \cap V_0 \neq \varnothing\)，取开球 \(V_1 \subseteq U_1 \cap V_0\) 且 \(\overline{V_1} \subseteq U_1 \cap V_0\)，\(\text{diam}(V_1) < 1\)。归纳地取 \(V_n \subseteq U_n \cap V_{n-1}\)，\(\overline{V_n} \subseteq V_{n-1}\)，\(\text{diam}(V_n) < 1/n\)。</p>
<p>由完备性，\(\bigcap_n \overline{V_n}\) 非空；设 \(x\) 属于其中，则 \(x \in V_0\) 且 \(x \in U_n\) 对所有 \(n\)，故 \(x \in V_0 \cap \bigcap_n U_n\)。由 \(V_0\) 任意，\(\bigcap_n U_n\) 稠密。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box err" id="ch2-err">
<div class="box-title">易错点 2</div>
<ul>
<li><strong>聚点不一定在集合内</strong>：\(E = (0,1)\) 时，\(0\) 是聚点但 \(0 \notin E\)。</li>
<li><strong>孤立点不是聚点</strong>：集合 \(\{0\} \cup (1,2)\) 中，\(0\) 是孤立点。</li>
<li><strong>开集、闭集不互斥</strong>：\(\varnothing\) 和 \(\mathbb{R}^n\) 既是开集又是闭集（clopen）。</li>
<li><strong>Cantor 集不含区间但不可数</strong>：测度为 0 与不可数性不矛盾！</li>
<li><strong>闭集的余集是开集，但不一定是开区间</strong>：不要把"开"与"区间"混淆。</li>
<li><strong>\(F_\sigma\) 不一定是闭集</strong>：\(\mathbb{Q} = \bigcup \{q_n\}\) 是 \(F_\sigma\) 但不是闭集。</li>
<li><strong>Baire 纲定理的条件</strong>：必须是完备度量空间；\(\mathbb{Q}\) 不满足，确实是第一纲集。</li>
</ul>
</div>
<div class="box exam" id="ch2-exam">
<div class="box-title">考题 2.1 — Cantor 集无内点的证明</div>
<p><strong>解：</strong>设 \((a,b) \subseteq C\)。\(F_n\) 由 \(2^n\) 个长度 \(3^{-n}\) 的闭区间组成，故 \(C \subseteq F_n\) 意味着 \((a,b)\) 必须包含在某个长度 \(3^{-n}\) 的区间内。当 \(3^{-n} < b-a\) 时这不可能，矛盾。故 \(C\) 无内点。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box exam">
<div class="box-title">考题 2.2 — 有界闭集的结构</div>
<p><strong>题目：</strong>设 \(F \subseteq \mathbb{R}\) 是有界完全集（perfect set），且 \(F \neq \varnothing\)，证明 \(F\) 不可数。</p>
<p><strong>解：</strong>设 \(F\) 可数，写 \(F = \{x_1, x_2, \ldots\}\)。由于 \(F\) 是完全集，每个 \(x_n\) 是聚点，故对每个 \(n\) 可取开区间 \(I_n \ni x_n\) 使 \(\overline{I_n} \cap F\) 仍无穷。用 Baire 纲定理（或直接构造嵌套区间），可得 \(F = \bigcup \{x_n\}\) 是第一纲集，而 \(F\) 作为完备度量空间的完全集自身也满足 Baire 定理，矛盾。故 \(F\) 不可数。\(\square\)</p>
</div>
<!-- ===================== CHAPTER 3 ===================== -->
<h2 class="chapter" id="ch3">第三章 测度论</h2>
<h3 class="section" id="ch3-outer">3.1 Lebesgue 外测度</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 3.1 — Lebesgue 外测度</div>
<p>对 \(E \subseteq \mathbb{R}^n\)，定义其 <strong>Lebesgue 外测度</strong>：
\[m^*(E) = \inf\left\{\sum_{k=1}^\infty |I_k| \;\middle|\; E \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k,\ I_k \text{ 为开长方体}\right\}\]
其中 \(|I_k|\) 表示长方体的体积（各边长之积）。</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 3.1 — 外测度的基本性质</div>
<ol>
<li><strong>非负性</strong>：\(m^*(E) \geq 0\)，\(m^*(\varnothing) = 0\)。</li>
<li><strong>单调性</strong>：\(A \subseteq B \Rightarrow m^*(A) \leq m^*(B)\)。</li>
<li><strong>次可数可加性（\(\sigma\)-次可加性）</strong>：\(m^*\!\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right) \leq \sum_{k=1}^\infty m^*(E_k)\)。</li>
<li>对开长方体 \(I\)：\(m^*(I) = |I|\)（外测度与体积一致）。</li>
<li><strong>平移不变性</strong>：\(m^*(E + x) = m^*(E)\)，\(\forall x \in \mathbb{R}^n\)。</li>
</ol>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（\(\sigma\)-次可加性）</div>
<p>设 \(E = \bigcup_k E_k\)。对任意 \(\varepsilon > 0\)，对每个 \(k\) 取开覆盖 \(\{I_{k,j}\}_j\) 使 \(E_k \subseteq \bigcup_j I_{k,j}\) 且 \(\sum_j |I_{k,j}| \leq m^*(E_k) + \varepsilon/2^k\)。则 \(\{I_{k,j}\}_{k,j}\) 是 \(E\) 的可数开覆盖，故
\[m^*(E) \leq \sum_{k,j} |I_{k,j}| \leq \sum_k \left(m^*(E_k) + \frac{\varepsilon}{2^k}\right) = \sum_k m^*(E_k) + \varepsilon.\]
由 \(\varepsilon > 0\) 任意，得 \(m^*(E) \leq \sum_k m^*(E_k)\)。\(\square\)</p>
</div>
<h3 class="section" id="ch3-meas">3.2 可测集与 \(\sigma\)-代数</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 3.2 — Carathéodory 可测性条件</div>
<p>集合 \(E \subseteq \mathbb{R}^n\) 称为 <strong>Lebesgue 可测集</strong>，若对任意 \(A \subseteq \mathbb{R}^n\)：
\[m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c).\]
（由 \(\sigma\)-次可加性，"\(\leq\)"自动成立，只需验证"\(\geq\)"。）</p>
<p>所有可测集的族记为 \(\mathcal{M}\)（Lebesgue \(\sigma\)-代数），\(m = m^*|_{\mathcal{M}}\) 称为 <strong>Lebesgue 测度</strong>。</p>
</div>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 3.3 — \(\sigma\)-代数</div>
<p>集族 \(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)\) 是 \(\sigma\)-<strong>代数</strong>，若：
<ol>
<li>\(X \in \mathcal{F}\)</li>
<li>\(E \in \mathcal{F} \Rightarrow E^c \in \mathcal{F}\)（对余封闭）</li>
<li>\(E_n \in \mathcal{F} \Rightarrow \bigcup_n E_n \in \mathcal{F}\)（对可数并封闭）</li>
</ol>
</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 3.2 — Lebesgue 可测集的性质</div>
<ol>
<li>\(\mathcal{M}\) 是 \(\sigma\)-代数，且包含所有 Borel 集。</li>
<li>开集、闭集、\(F_\sigma\)、\(G_\delta\) 集均可测。</li>
<li>零测集（\(m^*(E) = 0\)）可测；零测集的子集可测（Lebesgue 测度完备）。</li>
<li>Cantor 集可测且测度为零，但不可数。</li>
</ol>
</div>
<h3 class="section" id="ch3-prop">3.3 Lebesgue 测度的性质</h3>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 3.3 — 可数可加性（\(\sigma\)-可加性）</div>
<p>若 \(\{E_k\}_{k=1}^\infty \subseteq \mathcal{M}\) 两两不相交，则
\[m\!\left(\bigsqcup_{k=1}^\infty E_k\right) = \sum_{k=1}^\infty m(E_k).\]
</p>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（可数可加性）</div>
<p><em>"\(\leq\)"</em>：由外测度的 \(\sigma\)-次可加性。</p>
<p><em>"\(\geq\)"</em>：对任意 \(N\)，\(\bigsqcup_{k=1}^N E_k \subseteq \bigsqcup_{k=1}^\infty E_k\)，利用有限可加性（可由可测性条件归纳得到）：
\[m\!\left(\bigsqcup_{k=1}^\infty E_k\right) \geq m\!\left(\bigsqcup_{k=1}^N E_k\right) = \sum_{k=1}^N m(E_k).\]
令 \(N \to \infty\) 即得。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 3.4 — 测度的连续性</div>
<ul>
<li><strong>从下连续</strong>：若 \(E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots\) 均可测，则 \(m\!\left(\bigcup_n E_n\right) = \lim_n m(E_n)\)。</li>
<li><strong>从上连续</strong>：若 \(E_1 \supseteq E_2 \supseteq \cdots\) 均可测且 \(m(E_1) < \infty\)，则 \(m\!\left(\bigcap_n E_n\right) = \lim_n m(E_n)\)。</li>
</ul>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（从下连续）</div>
<p>令 \(F_1 = E_1\)，\(F_n = E_n \setminus E_{n-1}\)（\(n \geq 2\)），则 \(\{F_n\}\) 两两不相交且 \(\bigcup_n F_n = \bigcup_n E_n\)。由 \(\sigma\)-可加性：
\[m\!\left(\bigcup_n E_n\right) = \sum_n m(F_n) = \lim_N \sum_{n=1}^N m(F_n) = \lim_N m\!\left(\bigcup_{n=1}^N F_n\right) = \lim_N m(E_N).\quad\square\]
</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 3.5 — 正则性</div>
<p>对可测集 \(E\) 及 \(\varepsilon > 0\)，存在开集 \(G \supseteq E\) 和闭集 \(F \subseteq E\) 使
\[m(G \setminus E) < \varepsilon \quad \text{且} \quad m(E \setminus F) < \varepsilon.\]
</p>
</div>
<h3 class="section" id="ch3-vitali">3.4 非可测集：Vitali 构造</h3>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 3.6 — 非可测集的存在性（Vitali，需选择公理）</div>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">构造</div>
<p>在 \([0,1]\) 上定义等价关系：\(x \sim y\) 当且仅当 \(x - y \in \mathbb{Q}\)。由选择公理，从每个等价类中选取一个代表元，令 \(V\) 为所有代表元的集合。</p>
<p>令 \(\{r_n\}_{n=1}^\infty\) 枚举 \(\mathbb{Q} \cap [-1,1]\)，令 \(V_n = V + r_n\)。则：</p>
<ol>
<li>\(\{V_n\}\) 两两不相交（若 \(v + r_n = w + r_m\) 则 \(v - w = r_m - r_n \in \mathbb{Q}\)，故 \(v \sim w\)，由代表元唯一性 \(v = w\)，\(r_n = r_m\)）。</li>
<li>\([0,1] \subseteq \bigcup_n V_n \subseteq [-1,2]\)（因每个 \(x \in [0,1]\) 与某代表元 \(v \in V\) 差一个 \(\mathbb{Q} \cap [-1,1]\) 中的元素）。</li>
</ol>
<p>若 \(V\) 可测，设 \(m(V) = c\)。由平移不变性 \(m(V_n) = c\)，由 \(\sigma\)-可加性：
\[m\!\left(\bigcup_n V_n\right) = \sum_n c.\]
但 \(1 \leq m([0,1]) \leq m(\bigcup_n V_n) \leq m([-1,2]) = 3\)，故 \(1 \leq \sum_n c \leq 3\)，这要求 \(c\) 既不为 0 又不为正数，矛盾。故 \(V\) 不可测。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box err" id="ch3-err">
<div class="box-title">易错点 3</div>
<ul>
<li><strong>外测度不是测度</strong>：外测度满足次可加性，但一般不满足可加性，只有对可测集的分割才有可加性。</li>
<li><strong>Carathéodory 条件的方向</strong>：只需验证 \(m^*(A) \geq m^*(A\cap E) + m^*(A\cap E^c)\)（"="的另向自动成立）。</li>
<li><strong>零测集不一定是空集</strong>：Cantor 集不可数但测度为零；有理数集可数故测度为零。</li>
<li><strong>可数可加性 vs 有限可加性</strong>：外测度只有次可加性；测度在不相交可测集上有（可数）可加性。</li>
<li><strong>从上连续需有限测度条件</strong>：若 \(E_n = [n,\infty)\)，则 \(\bigcap E_n = \varnothing\) 但 \(m(E_n) = \infty\)，不能省去 \(m(E_1) < \infty\)。</li>
<li><strong>可测集不等于 Borel 集</strong>：Borel 集族 \(\subsetneq\) Lebesgue 可测集族（后者对零测集的子集封闭）。</li>
</ul>
</div>
<div class="box exam" id="ch3-exam">
<div class="box-title">考题 3.1 — 计算/估计 Cantor 集的测度</div>
<p><strong>解：</strong>第 \(n\) 步删去 \(2^{n-1}\) 个区间各长 \(3^{-n}\)，总删去长度 \(\sum_{n=1}^\infty 2^{n-1}/3^n = 1\)。故 \(m(C) = m([0,1]) - 1 = 0\)。也可由 \(C \subseteq F_n\) 及 \(m(F_n) = (2/3)^n \to 0\) 得 \(m(C) = 0\)。</p>
</div>
<div class="box exam">
<div class="box-title">考题 3.2 — 证明开集可测</div>
<p><strong>解：</strong>\(\mathbb{R}^1\) 中每个开集 \(G\) 是可数个开区间的并，而每个开区间是可测的（Carathéodory 条件对区间可直接验证），可数个可测集的并可测。故开集可测。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box exam">
<div class="box-title">考题 3.3 — 利用 \(\sigma\)-可加性求测度</div>
<p><strong>题目：</strong>设 \(E_n = \left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right]\)，求 \(m\!\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)\)。</p>
<p><strong>解：</strong>\(E_n\) 两两不相交（相邻区间仅共端点，零测集），\(\bigcup E_n = (0,1]\)（因为 \(\bigcup E_n = \bigcup [1/(n+1), 1/n] = (0,1]\)）。故 \(m\!\left(\bigcup E_n\right) = m((0,1]) = 1\)。验证：\(\sum m(E_n) = \sum 1/n(n+1) = \sum(1/n - 1/(n+1)) = 1\)。\(\square\)</p>
</div>
<!-- ===================== CHAPTER 4 ===================== -->
<h2 class="chapter" id="ch4">第四章 可测函数</h2>
<h3 class="section" id="ch4-def">4.1 可测函数的定义与等价刻画</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 4.1 — 可测函数</div>
<p>设 \(E \subseteq \mathbb{R}^n\) 可测，\(f: E \to \overline{\mathbb{R}} = [-\infty, +\infty]\)。若对每个 \(a \in \mathbb{R}\)，集合
\[\{x \in E \mid f(x) > a\}\]
是可测集，则称 \(f\) 是 \(E\) 上的<strong>可测函数</strong>。</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 4.1 — 可测函数的等价刻画</div>
<p>以下四个条件等价：</p>
<ol>
<li>\(\{f > a\}\) 对所有 \(a \in \mathbb{R}\) 可测</li>
<li>\(\{f \geq a\}\) 对所有 \(a \in \mathbb{R}\) 可测</li>
<li>\(\{f < a\}\) 对所有 \(a \in \mathbb{R}\) 可测</li>
<li>\(\{f \leq a\}\) 对所有 \(a \in \mathbb{R}\) 可测</li>
</ol>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（等价性）</div>
<p>注意到：</p>
<ul>
<li>\(\{f \geq a\} = \bigcap_{n=1}^\infty \{f > a - 1/n\}\)（可数交可测集仍可测）</li>
<li>\(\{f > a\} = \bigcup_{n=1}^\infty \{f \geq a + 1/n\}\)（可数并可测集仍可测）</li>
<li>\(\{f < a\} = E \setminus \{f \geq a\}\)</li>
<li>\(\{f \leq a\} = E \setminus \{f > a\}\)</li>
</ul>
<p>由上述关系，四个条件互推，完成等价性证明。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 4.2 — 可测函数在运算下封闭</div>
<p>设 \(f, g\) 是可测集 \(E\) 上的可测函数，则以下函数均可测：</p>
<ol>
<li>\(f + g\)，\(f - g\)，\(cf\)（\(c \in \mathbb{R}\)）</li>
<li>\(f \cdot g\)，\(f/g\)（\(g \neq 0\) a.e.）</li>
<li>\(\max(f, g)\)，\(\min(f, g)\)，\(|f|\)</li>
<li>\(f^+ = \max(f,0)\)，\(f^- = \max(-f, 0)\)</li>
<li>若 \(\{f_n\}\) 可测，则 \(\sup_n f_n\)，\(\inf_n f_n\)，\(\limsup_n f_n\)，\(\liminf_n f_n\) 均可测</li>
</ol>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（\(f+g\) 可测）</div>
<p>\(\{f + g > a\} = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} (\{f > r\} \cap \{g > a-r\})\)（因为 \(f(x)+g(x)>a\) 当且仅当存在有理数 \(r\) 使 \(f(x)>r\) 且 \(g(x)>a-r\)）。右边是可数个可测集的交的并，故可测。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 4.2 — 几乎处处（a.e.）</div>
<p>若性质 \(P(x)\) 在集合 \(E\) 上除一个零测集外处处成立，则称 \(P\) 在 \(E\) 上<strong>几乎处处（almost everywhere，a.e.）</strong>成立。</p>
<p>可测函数的等价类（a.e. 相等视为同一函数）是 \(L^p\) 空间的基础。</p>
</div>
<h3 class="section" id="ch4-simple">4.2 简单函数与逼近定理</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 4.3 — 简单函数</div>
<p><strong>简单函数</strong>（simple function）是有限个可测集的特征函数的线性组合：
\[\varphi(x) = \sum_{k=1}^n c_k \chi_{E_k}(x)\]
其中 \(E_k\) 是可测集，\(c_k \in \mathbb{R}\)，\(\chi_{E_k}\) 是 \(E_k\) 的特征函数。</p>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 4.3 — 简单函数逼近定理</div>
<p>设 \(f\) 是可测集 \(E\) 上的非负可测函数，则存在单调递增的非负简单函数序列 \(\{\varphi_n\}\) 使得 \(\varphi_n \nearrow f\)（逐点递增收敛于 \(f\)）。</p>
<p>若 \(f\) 有界，则 \(\varphi_n \rightrightarrows f\)（一致收敛）。</p>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（简单函数逼近）</div>
<p>对 \(n \geq 1\)，令：
\[E_{n,k} = \left\{x \in E \;\middle|\; \frac{k-1}{2^n} \leq f(x) < \frac{k}{2^n}\right\}, \quad k = 1, 2, \ldots, n \cdot 2^n\]
\[F_n = \{x \in E \mid f(x) \geq n\}\]
\[\varphi_n(x) = \sum_{k=1}^{n \cdot 2^n} \frac{k-1}{2^n} \chi_{E_{n,k}}(x) + n \chi_{F_n}(x).\]
则 \(\varphi_n\) 是非负简单函数，且 \(\varphi_n \leq \varphi_{n+1}\)（可验证）。对每个 \(x\)：若 \(f(x) < \infty\)，则当 \(n > f(x)\) 时 \(|f(x) - \varphi_n(x)| < 2^{-n} \to 0\)；若 \(f(x) = +\infty\)，则 \(\varphi_n(x) = n \to \infty\)。\(\square\)</p>
</div>
<h3 class="section" id="ch4-conv">4.3 收敛模式</h3>
<div class="box def">
<div class="box-title">定义 4.4 — 各种收敛模式</div>
<ul>
<li><strong>逐点收敛（pointwise）</strong>：\(f_n(x) \to f(x)\) 对所有 \(x \in E\)</li>
<li><strong>几乎处处收敛（a.e. convergence）</strong>：\(f_n \to f\) a.e.，即 \(m(\{f_n \not\to f\}) = 0\)</li>
<li><strong>一致收敛</strong>：\(\sup_{x\in E} |f_n(x) - f(x)| \to 0\)</li>
<li><strong>依测度收敛（convergence in measure）</strong>：\(\forall \varepsilon > 0\)，\(m(\{|f_n - f| \geq \varepsilon\}) \to 0\)</li>
<li><strong>\(L^p\) 收敛</strong>：\(\|f_n - f\|_p = \left(\int |f_n - f|^p\,dm\right)^{1/p} \to 0\)</li>
</ul>
</div>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 4.4 — 收敛模式之间的关系</div>
<p>在有限测度集 \(E\)（\(m(E) < \infty\)）上：</p>
<ul>
<li>一致收敛 \(\Rightarrow\) a.e. 收敛 \(\Rightarrow\) 依测度收敛（Egorov 定理加强此关系）</li>
<li>依测度收敛 \(\Rightarrow\) 存在子列 a.e. 收敛</li>
<li>一般地：a.e. 收敛 \(\not\Rightarrow\) 依测度收敛（无限测度集上）；依测度收敛 \(\not\Rightarrow\) a.e. 收敛</li>
</ul>
</div>
<h3 class="section" id="ch4-egorov">4.4 Egorov 定理</h3>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 4.5 — Egorov 定理</div>
<p>设 \(m(E) < \infty\)，\(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上的可测函数列，\(f_n \to f\) a.e.（\(f\) 也可测）。则对任意 \(\delta > 0\)，存在可测集 \(F \subseteq E\) 使得：</p>
<ul>
<li>\(m(E \setminus F) < \delta\)</li>
<li>\(f_n \rightrightarrows f\) 在 \(F\) 上一致收敛</li>
</ul>
<p>（a.e. 收敛"近似等于"一致收敛。）</p>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明（Egorov 定理）</div>
<p>不妨设 \(f_n \to f\) 处处成立（调整零测集后不影响结论）。对 \(k, n \in \mathbb{N}^+\)，令
\[A_n^k = \bigcup_{j=n}^\infty \left\{x \in E \;\middle|\; |f_j(x) - f(x)| \geq \frac{1}{k}\right\}.\]
由 \(f_n \to f\) 处处成立，对每个 \(x\) 及 \(k\)，\(x \notin A_n^k\) 当 \(n\) 充分大，即 \(x \notin \bigcap_n A_n^k\)，故 \(m\!\left(\bigcap_n A_n^k\right) = 0\)。</p>
<p>由测度从上连续（\(A_n^k \searrow \bigcap_n A_n^k\)，且 \(m(A_1^k) \leq m(E) < \infty\)），\(\lim_{n\to\infty} m(A_n^k) = 0\)。故对每个 \(k\) 可取 \(n_k\) 使 \(m(A_{n_k}^k) < \delta/2^k\)。</p>
<p>令 \(F = E \setminus \bigcup_k A_{n_k}^k\)，则
\[m(E \setminus F) \leq \sum_k m(A_{n_k}^k) < \sum_k \frac{\delta}{2^k} = \delta.\]
在 \(F\) 上：对每个 \(k\) 及 \(j \geq n_k\)，\(|f_j(x) - f(x)| < 1/k\)，故 \(f_n \rightrightarrows f\) 在 \(F\) 上成立。\(\square\)</p>
</div>
<h3 class="section" id="ch4-lusin">4.5 Lusin 定理</h3>
<div class="box thm">
<div class="box-title">定理 4.6 — Lusin 定理</div>
<p>设 \(f\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上（或有限测度可测集 \(E\) 上）的可测函数。则对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在<strong>闭集</strong> \(F \subseteq E\) 使得：</p>
<ul>
<li>\(m(E \setminus F) < \varepsilon\)</li>
<li>\(f|_F\) 在 \(F\) 上连续</li>
</ul>
<p>（"可测函数几乎是连续函数"——Lusin 的名言。）</p>
</div>
<div class="box prf">
<div class="box-title">证明思路（Lusin 定理）</div>
<p><em>步骤 1：简单函数情形。</em>设 \(\varphi = \sum c_k \chi_{E_k}\)。对每个 \(E_k\) 用测度正则性取 \(F_k \subseteq E_k\) 闭，\(m(E_k \setminus F_k) < \varepsilon/N\)。令 \(F = \bigcup_k F_k$（有限并，故闭），则 \(\varphi|_F\) 在 \(F\) 上为常数，当然连续。</p>
<p><em>步骤 2：一般非负可测函数。</em>取简单函数序列 \(\varphi_n \to f\) 逐点。由步骤 1 对每个 \(\varphi_n\) 取 \(F_n'\) 使 \(m(E\setminus F_n') < \varepsilon/2^{n+1}\) 且 \(\varphi_n|_{F_n'}\) 连续。取 \(F' = \bigcap_n F_n'\)，则 \(\varphi_n|_{F'}\) 连续，\(m(E \setminus F') < \varepsilon/2\)。</p>
<p>在 \(F'\) 上用 Egorov 定理（\(m(F') < \infty\)），取 \(F \subseteq F'\) 使 \(\varphi_n \rightrightarrows f\) 在 \(F\) 上一致收敛，\(m(F'\setminus F) < \varepsilon/2\)。连续函数的一致极限仍连续，故 \(f|_F\) 连续，\(m(E\setminus F) < \varepsilon\)。最后取 \(F\) 的闭子集即可。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box err" id="ch4-err">
<div class="box-title">易错点 4</div>
<ul>
<li><strong>可测函数不一定连续</strong>：特征函数 \(\chi_\mathbb{Q}\) 可测（因 \(\mathbb{Q}\) 可测）但处处不连续。</li>
<li><strong>"几乎处处"修改不改变可测性</strong>：若 \(f\) 可测，\(f = g\) a.e.，则 \(g\) 可测。</li>
<li><strong>a.e. 收敛 \(\neq\) 依测度收敛</strong>：典型反例：\(f_n = \chi_{[n,n+1]}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上 a.e. \(\to 0\) 但不依测度收敛（\(m\{|f_n|>\varepsilon\}=1\not\to 0\)）。反向反例：\([0,1]\) 上"游走特征函数"依测度 \(\to 0\) 但处处不 a.e. 收敛。</li>
<li><strong>Egorov 定理需有限测度</strong>：\(m(E) < \infty\) 必须，否则结论可能不成立（上例即反例）。</li>
<li><strong>Lusin 定理是"切割"结论</strong>：不是 \(f\) 本身连续，而是在去掉小测度集之后的闭集上连续，这两者有本质区别。</li>
<li><strong>\(\sup_n f_n\) 的可测性</strong>：\(\{\sup_n f_n > a\} = \bigcup_n \{f_n > a\}\)，可数并可测集仍可测，关键用到可数性。</li>
</ul>
</div>
<div class="box exam" id="ch4-exam">
<div class="box-title">考题 4.1 — 证明 \(\limsup_n f_n\) 是可测函数</div>
<p><strong>解：</strong>对可测函数序列 \(\{f_n\}\)，令 \(g_n = \sup_{k \geq n} f_k\)。对每个 \(n\)，\(\{g_n > a\} = \bigcup_{k\geq n} \{f_k > a\}\) 是可数个可测集的并，故可测，即 \(g_n\) 可测。进而 \(\limsup_n f_n = \inf_n g_n\)，而 \(\{inf_n g_n < a\} = \bigcup_n \{g_n < a\}\) 可测。故 \(\limsup_n f_n\) 可测。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box exam">
<div class="box-title">考题 4.2 — 应用 Egorov 定理</div>
<p><strong>题目：</strong>设 \(m(E) < \infty\)，\(f_n \to f\) a.e. 于 \(E\)，且 \(\sup_n \|f_n\|_\infty \leq M\)（一致有界）。证明 \(f_n \to f\) 依测度。</p>
<p><strong>解：</strong>对任意 \(\varepsilon > 0\)，由 Egorov 定理取 \(F \subseteq E\)，\(m(E\setminus F) < \varepsilon/2\)，\(f_n \rightrightarrows f\) 在 \(F\) 上。故存在 \(N\) 使 \(n \geq N\) 时 \(\sup_F |f_n - f| < \varepsilon\)，从而 \(\{|f_n - f| \geq \varepsilon\} \subseteq E \setminus F\)，\(m(\{|f_n - f| \geq \varepsilon\}) < \varepsilon/2 < \varepsilon\)，得 \(f_n \to f\) 依测度。\(\square\)</p>
</div>
<div class="box exam">
<div class="box-title">考题 4.3 — Lusin 定理应用</div>
<p><strong>题目：</strong>设 \(f\) 是 \([0,1]\) 上的可测函数，证明存在连续函数 \(g_n: [0,1] \to \mathbb{R}\) 使得 \(g_n \to f\) a.e.。</p>
<p><strong>解：</strong>由 Lusin 定理，对每个 \(n\) 取闭集 \(F_n \subseteq [0,1]\)，\(m([0,1]\setminus F_n) < 1/n\)，\(f|_{F_n}\) 连续。由 Tietze 延拓定理，\(f|_{F_n}\) 可延拓为 \([0,1]\) 上的连续函数 \(g_n\)。则 \(g_n(x) = f(x)\) 在 \(F_n\) 上。</p>
<p>令 \(G = \limsup_n ([0,1]\setminus F_n) = \bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{n=k}^\infty ([0,1]\setminus F_n)\)。由 Borel–Cantelli 引理的测度版本（\(\sum 1/n = \infty\) 不足，但直接估计：\(m(G) \leq m\!\left(\bigcup_{n\geq k} ([0,1]\setminus F_n)\right) \leq \sum_{n\geq k} 1/n\)，需取不同策略）。改取 \(m([0,1]\setminus F_n) < 1/2^n\) 时，\(\sum 1/2^n < \infty\)，由 Borel–Cantelli \(m(G)=0\)，故 \(g_n \to f\) a.e.。\(\square\)</p>
</div>
<!-- ===================== MIND MAPS ===================== -->
<h2 class="chapter" id="mindmap">思维导图</h2>
<h3 class="section">第一章 集合论思维导图</h3>
<div style="background:#fff;border:1px solid #ddd;border-radius:8px;padding:1.5rem;overflow-x:auto;">
<div class="tree">
<ul>
<li><span class="root">集合论</span>
<ul>
<li><span class="l1">集合运算</span>
<ul>
<li><span class="l2">∪ ∩ \ △ ×</span></li>
<li><span class="l2">De Morgan 定律</span></li>
<li><span class="l2">上/下极限集</span></li>
</ul>
</li>
<li><span class="l1">映射与关系</span>
<ul>
<li><span class="l2">单射 / 满射 / 双射</span></li>
<li><span class="l2">等价关系（3条件）</span></li>
<li><span class="l2">集合对等 A ~ B</span></li>
</ul>
</li>
<li><span class="l1">基数理论</span>
<ul>
<li><span class="l2">有限集 / 可数集 / 不可数集</span>
<ul>
<li><span class="l3">ℕ ℤ ℚ 可数；ℝ 不可数</span></li>
</ul>
</li>
<li><span class="l2">Cantor 对角线论证</span></li>
<li><span class="l2">Cantor–Bernstein 定理</span></li>
<li><span class="l2">Cantor 定理 |𝒫(A)| > |A|</span></li>
<li><span class="l2">连续统 𝔠 = 2^ℵ₀</span></li>
<li><span class="l2">连续统假设（ZFC 独立）</span></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<h3 class="section" style="margin-top:1.5rem;">第二章 点集拓扑思维导图</h3>
<div style="background:#fff;border:1px solid #ddd;border-radius:8px;padding:1.5rem;overflow-x:auto;">
<div class="tree">
<ul>
<li><span class="root">点集拓扑</span>
<ul>
<li><span class="l1">基本概念</span>
<ul>
<li><span class="l2">邻域 / 去心邻域</span></li>
<li><span class="l2">内点 / 外点 / 边界点</span></li>
<li><span class="l2">开集 / 闭集</span>
<ul><li><span class="l3">ℝ¹开集=可数开区间之并</span></li></ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><span class="l1">聚点理论</span>
<ul>
<li><span class="l2">聚点 / 孤立点</span></li>
<li><span class="l2">导集 E'</span></li>
<li><span class="l2">闭包 Ē = E ∪ E'</span></li>
<li><span class="l2">Bolzano–Weierstrass 定理</span></li>
<li><span class="l2">Heine–Borel（有界闭=紧）</span></li>
</ul>
</li>
<li><span class="l1">特殊集合</span>
<ul>
<li><span class="l2">完全集 P = P'（无孤立点）</span></li>
<li><span class="l2">Cantor 集：完全+零测+不可数+疏</span></li>
<li><span class="l2">疏集 / 第一纲 / 第二纲</span></li>
<li><span class="l2">Baire 纲定理（完备空间≠第一纲）</span></li>
</ul>
</li>
<li><span class="l1">Borel 集层次</span>
<ul>
<li><span class="l2">开集 ⊂ G_δ ⊂ G_δσ ⊂ …</span></li>
<li><span class="l2">闭集 ⊂ F_σ ⊂ F_σδ ⊂ …</span></li>
<li><span class="l2">ℚ = F_σ；ℝ\ℚ = G_δ</span></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<h3 class="section" style="margin-top:1.5rem;">第三章 测度论思维导图</h3>
<div style="background:#fff;border:1px solid #ddd;border-radius:8px;padding:1.5rem;overflow-x:auto;">
<div class="tree">
<ul>
<li><span class="root">Lebesgue 测度</span>
<ul>
<li><span class="l1">外测度 m*(E)</span>
<ul>
<li><span class="l2">定义：开覆盖的下确界</span></li>
<li><span class="l2">非负性 / 单调性 / σ-次可加性</span></li>
<li><span class="l2">平移不变性</span></li>
</ul>
</li>
<li><span class="l1">可测集 (Carathéodory)</span>
<ul>
<li><span class="l2">m*(A) = m*(A∩E) + m*(A∩Eᶜ)</span></li>
<li><span class="l2">σ-代数 ℳ 包含所有 Borel 集</span></li>
<li><span class="l2">完备性（零测集子集可测）</span></li>
</ul>
</li>
<li><span class="l1">测度性质</span>
<ul>
<li><span class="l2">σ-可加性（不相交可数并）</span></li>
<li><span class="l2">从下/从上连续性</span></li>
<li><span class="l2">正则性（开集/闭集逼近）</span></li>
</ul>
</li>
<li><span class="l1">非可测集</span>
<ul>
<li><span class="l2">Vitali 构造（依赖选择公理）</span></li>
<li><span class="l2">ZFC 中存在但不可构造</span></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<h3 class="section" style="margin-top:1.5rem;">第四章 可测函数思维导图</h3>
<div style="background:#fff;border:1px solid #ddd;border-radius:8px;padding:1.5rem;overflow-x:auto;">
<div class="tree">
<ul>
<li><span class="root">可测函数</span>
<ul>
<li><span class="l1">定义与刻画</span>
<ul>
<li><span class="l2">{f > a} 可测（等价4条件）</span></li>
<li><span class="l2">运算封闭：+, ×, max, min, |·|</span></li>
<li><span class="l2">上/下确界，limsup/liminf 可测</span></li>
</ul>
</li>
<li><span class="l1">简单函数</span>
<ul>
<li><span class="l2">有限线性组合特征函数</span></li>
<li><span class="l2">逼近定理：φₙ ↗ f（非负情形）</span></li>
</ul>
</li>
<li><span class="l1">收敛模式（有限测度集上）</span>
<ul>
<li><span class="l2">一致 → a.e. → 依测度</span></li>
<li><span class="l2">依测度 → 子列 a.e.</span></li>
<li><span class="l2">Egorov：a.e. ≈ 去小集后一致</span></li>
</ul>
</li>
<li><span class="l1">近似连续性</span>
<ul>
<li><span class="l2">Lusin：去小闭集后连续</span></li>
<li><span class="l2">利用 Tietze 延拓到全空间</span></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<!-- ===================== CONNECTIONS ===================== -->
<h2 class="chapter" id="connections">跨学科联系</h2>
<table>
<tr>
<th>本课知识点</th>
<th>关联学科</th>
<th>具体联系</th>
</tr>
<tr>
<td>σ-代数、Lebesgue 测度</td>
<td>概率论</td>
<td>概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 的基础；Kolmogorov 公理化概率论的核心框架</td>
</tr>
<tr>
<td>Borel 集、可测集</td>
<td>概率论</td>
<td>随机变量的定义：\(X: \Omega \to \mathbb{R}\) 可测 \(\Leftrightarrow\) 对每个 Borel 集 \(B\)，\(X^{-1}(B) \in \mathcal{F}\)</td>
</tr>
<tr>
<td>a.e. 收敛、依测度收敛</td>
<td>概率论</td>
<td>几乎处处收敛 = 以概率 1 收敛（a.s.）；依测度收敛 = 依概率收敛（in probability）</td>
</tr>
<tr>
<td>简单函数逼近、积分</td>
<td>数学分析/Riemann 积分</td>
<td>Lebesgue 积分通过简单函数逼近定义，严格推广 Riemann 积分；控制收敛定理解决 Riemann 积分极限换序问题</td>
</tr>
<tr>
<td>完全集、紧集</td>
<td>拓扑学</td>
<td>一般拓扑中的紧集、完全集的推广；Cantor 集是分形的原型，在动力系统和混沌理论中出现</td>
</tr>
<tr>
<td>Baire 纲定理</td>
<td>泛函分析</td>
<td>开映射定理、闭图定理、一致有界原理（Banach–Steinhaus 定理）的证明都依赖 Baire 纲定理</td>
</tr>
<tr>
<td>L² 空间（依 L² 收敛）</td>
<td>信号处理/量子力学</td>
<td>Hilbert 空间 \(L^2[0,1]\) 中函数的 Fourier 级数收敛，Parseval 等式，量子态空间</td>
</tr>
<tr>
<td>Cantor 对角线论证</td>
<td>数理逻辑/计算理论</td>
<td>Gödel 不完备定理、图灵停机问题的对角化论证本质相同</td>
</tr>
<tr>
<td>基数理论</td>
<td>公理集合论</td>
<td>ZFC 公理系统、连续统假设的独立性、序数与基数理论</td>
</tr>
<tr>
<td>可测函数、正则性</td>
<td>统计学</td>
<td>统计学中密度函数、分布函数都是 Borel 可测函数；Radon–Nikodym 定理是条件期望的基础</td>
</tr>
</table>
<!-- ===================== APPLICATIONS ===================== -->
<h2 class="chapter" id="applications">实际应用与职业意义</h2>
<div class="box app">
<div class="box-title">面向数学家：理论基础</div>
<ul>
<li><strong>泛函分析</strong>：\(L^p\) 空间、Banach 空间、Hilbert 空间理论的基础。有界线性算子、谱理论、弱收敛均依赖 Lebesgue 积分理论。</li>
<li><strong>偏微分方程</strong>：Sobolev 空间 \(W^{k,p}\) 是偏微分方程弱解理论的核心，其中函数的弱导数和 \(L^p\) 范数都是 Lebesgue 积分的概念。</li>
<li><strong>调和分析</strong>：Fourier 变换在 \(L^1 \cap L^2\) 上的定义、Plancherel 定理（\(L^2\) 等距）、Hausdorff–Young 不等式。</li>
<li><strong>动力系统与遍历论</strong>：Poincaré 回归定理、Birkhoff 遍历定理均需要测度保持映射的概念。</li>
</ul>
</div>
<div class="box app">
<div class="box-title">面向统计学家：应用基础</div>
<ul>
<li><strong>概率论严格化</strong>：大数定律（弱/强）、中心极限定理的严格证明依赖 a.e. 收敛、依概率收敛的精确关系（与本课第四章直接对应）。</li>
<li><strong>随机过程</strong>：Brownian motion（布朗运动）的构造需要 Kolmogorov 延拓定理，后者的基础是测度论上的一致性条件。</li>
<li><strong>Radon–Nikodym 定理</strong>：条件期望 \(E[X \mid \mathcal{G}]\) 的存在性和唯一性（a.e. 意义下）依赖此定理，是贝叶斯统计和鞅论的核心。</li>
<li><strong>统计推断</strong>：最大似然估计的一致性、渐近正态性均涉及在测度论框架下对参数空间上的测度的分析。</li>
<li><strong>机器学习理论</strong>：PAC 学习框架、VC 维理论中的集合族的度量（covering number）与 Lebesgue 测度紧密相关。</li>
</ul>
</div>
<div class="box app">
<div class="box-title">思维训练价值</div>
<p>实变函数课程训练数学家最核心的三种思维能力：</p>
<ol>
<li><strong>\(\varepsilon\)-\(\delta\) 精确化</strong>：将"极限"、"连续"、"几乎处处"等直觉概念精确化，这是所有严格分析的基础。</li>
<li><strong>层次化构造</strong>：从开集→Borel 集→可测集→可测函数→积分，每一层次都严格建立在上一层次的基础上，培养数学体系构建能力。</li>
<li><strong>反例思维</strong>：Cantor 集（测度零但不可数）、Vitali 集（不可测）、游走特征函数（依测度收敛但不 a.e. 收敛）——这些反例打破直觉，培养批判性数学思维，这是顶级数学家和统计学家的核心素质。</li>
</ol>
</div>
<div style="margin-top:3rem; padding: 1rem; border-top: 2px solid #ddd; color: #888; font-size:.9rem;">
教案编写：基于第一至四章全部讲义整理 | 数学渲染：MathJax 3.x | 建议配合原始讲义及习题集使用
</div>
</div><!-- /main -->
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