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%% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\title{\Huge \bf 《多元统计分析》课后作业}
\author{\kaishu 姓名：\underline{\quad 李倩倩 \quad} \\[5mm]
                 \kaishu 学号：\underline{\quad 2024017349 \quad} \\[5mm]
                 \kaishu 班级：\underline{\quad 统计 24-1 班 \quad} \\[50mm]
                 \kaishu 中国石油大学（北京）克拉玛依校区文理学院数学与统计系
                 }
\date{\today}

\begin{document}

% -------------------------------------------- 封面页 --------------------------------------------
\frontmatter
\maketitle

% -------------------------------------------- 作业要求 --------------------------------------------
\chapter{作业要求}
\begin{enumerate}
	\item 可以和其他同学讨论作业当中的问题，但应当自己独立完成作业
	\item 计算、证明等要有过程，要有主要步骤的说明
	\item 请将计算、绘图所用的 R 代码以及生成的结果和图像一并添加在作业文件当中
	\item 请使用 \LaTeX 编辑并生成 PDF 格式的文件，第 X 周作业文件命名方式：学号-姓名-X.pdf
	\item 评分标准：每一问得分 $\in \left\{ 2 ,\, 1 ,\, 0 \right\}$
		\begin{itemize}
			\item 2:~ 按时完成并上交作业，且答案基本正确
			\item 1:~ 按时完成并上交作业，且答案部分正确
			\item 0:~ 答案完全错误，或者迟交作业(规定时间72小时之后)
		\end{itemize}
	\item 请将完成的 PDF 格式的作业文件发送至邮箱：xiaolei@cup.edu.cn
	\item 每位同学可以有一次迟交作业的机会，但不得晚于规定时间三日之后
	\item 第 6 周作业截止时间：2026年4月24日24:00
\end{enumerate}

\tableofcontents

% -------------------------------------------- 正文部分 --------------------------------------------
\mainmatter



% -------------------------------------------- 第 7 周作业 --------------------------------------------
\chapter{第 7 周作业}

{\kaishu \color{blue} 第 7 周作业截止时间：} 2026年5月1日24:00

{\kaishu \color{blue} 第 7 周作业完成时间：} \today \space \currenttime      % 请勿编辑、删除本行！

\begin{enumerate}
	\item 从二元正态分布总体模拟抽样一个简单随机样本，其中
		\begin{equation}
			\boldsymbol{\mu} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) ~, \quad \mathnormal{\Sigma} = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{array} \right)
		\end{equation}
		检验假设 $H_0:~ 2 \, \mu_1 - \mu_2 = 0.2$.
		\begin{enumerate}
			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 首先，假设 $\mathnormal{\Sigma}$ 已知.

			{\color{red} \heiti 【解】} 

			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 其次，假设 $\mathnormal{\Sigma}$ 未知.

			{\color{red} \heiti 【解】} 

			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 比较上述结果.

			{\color{red} \heiti 【解】} 
		\end{enumerate}

	\item 对上课用到的美国公司数据集.
		\begin{enumerate}
	 		\item {\color{TealBlue} [2 分]} 使用 $X_1$ 至 $X_6$ 全部六个变量的观测数据，检验能源行业的均值向量与制造业的均值向量是否相同.

			{\color{red} \heiti 【解】} 

			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算均值差的联合置信区间.

			{\color{red} \heiti 【解】} 
		\end{enumerate}

	\item 设 $\boldsymbol{X} \sim N_2 \left( \boldsymbol{\mu} ,\, \mathnormal{\Sigma} \right)$，其中 $\mathnormal{\Sigma}$ 已知
		\begin{equation}
			\mathnormal{\Sigma} = \left( \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)
		\end{equation}
		从中抽取了容量 $n = 6$ 的一个简单随机样本，计算得
		\begin{equation}
			\overline{\boldsymbol{x}} = \left( \begin{array}{c} 1 \\[3mm] \dfrac{1}{2} \end{array} \right)
		\end{equation}

		\begin{enumerate}
			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 求解假设检验问题 $H_0:~ \mu_1 + \mu_2 = \dfrac{7}{2} ~\longleftrightarrow~ 
				H_1:~ \mu_1 + \mu_2 \not= \dfrac{7}{2}$.

			{\color{red} \heiti 【解】} 

			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 作拒绝域的可视化图形.

			{\color{red} \heiti 【解】} 
		\end{enumerate}

	\item 设 $\boldsymbol{X} \sim N_2 \left( \boldsymbol{\mu} ,\, \mathnormal{\Sigma} \right)$，其中 $\mathnormal{\Sigma}$ 未知.
		从中抽取了容量 $n = 6$ 的一个简单随机样本，计算得
		\begin{equation}
			\overline{\boldsymbol{x}} = \left( \begin{array}{c} 1 \\[3mm] \dfrac{1}{2} \end{array} \right) \,, \quad
			\mathcal{S} = \left( \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)
		\end{equation}

		\begin{enumerate}
			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 求解假设检验问题 $H_0:~ \mu_1 - \mu_2 = \dfrac{1}{2} ~\longleftrightarrow~ 
				H_1:~ \mu_1 - \mu_2 \not= \dfrac{1}{2}$.

			{\color{red} \heiti 【解】} 

			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 作拒绝域的可视化图形.

			{\color{red} \heiti 【解】} 
		\end{enumerate}

	\item 已知 $\boldsymbol{X} \sim N_3 \left( \boldsymbol{\mu} ,\, \mathnormal{\Sigma} \right)$. 从中抽取了容量 $n=10$ 的一个简单随机样本，算得
		\begin{equation}
			\overline{\boldsymbol{x}} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)~, \quad \mathcal{S} = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{array} \right)
		\end{equation}

		\begin{enumerate}
			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 已知 $\mathcal{S}$ 的特征值为整数，给出 $\boldsymbol{\mu}$ 的置信度为 $95\%$ 一个置信域.

			\noindent
			{\color{blue} 【提示】为计算特征值，可以利用下式：
				\begin{equation}
					\left| \mathcal{S} \right| = \prod_{j=1}^3 \, \lambda_j ~, \quad {\rm tr} (\mathcal{S}) = \sum_{j=1}^3 \, \lambda_j
				\end{equation} }

			{\color{red} \heiti 【解】} 

			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 计算 $\mu_1$，$\mu_2$，以及 $\mu_3$ 的联合置信区间.

			{\color{red} \heiti 【解】} 

			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 可否认为 $\mu_1$ 等于 $\mu_2$ 与 $\mu_3$ 的平均?

			{\color{red} \heiti 【解】} 
		\end{enumerate}

	\item 对取自两个二元正态分布总体、容量均为 $10$ 的两个独立样本，计算得
		\begin{equation}
			\overline{\boldsymbol{x}}_1 = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right) \,,\quad \mathcal{S}_1 = \left( \begin{array}{rr} 4 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \,, \quad 
			\overline{\boldsymbol{x}}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \,,\quad \mathcal{S}_2 = \left( \begin{array}{rr} 2 & -2 \\ -2 & 4 \end{array} \right)
		\end{equation}
		求解以下假设检验问题：
		\begin{enumerate}
			\item {\color{TealBlue} [2 分]} $H_0:~ \boldsymbol{\mu}_1 = \boldsymbol{\mu}_2 ~\longleftrightarrow~ H_1:~ \boldsymbol{\mu}_1 \not= \boldsymbol{\mu}_2$.

			{\color{red} \heiti 【解】} 

			\item {\color{TealBlue} [2 分]} $H_0:~ \mu_{11} = \mu_{21} ~\longleftrightarrow~ H_1:~ \mu_{11} \not= \mu_{21}$.

			{\color{red} \heiti 【解】} 

			\item {\color{TealBlue} [2 分]} $H_0:~ \mu_{12} = \mu_{22} ~\longleftrightarrow~ H_1:~ \mu_{12} \not= \mu_{22}$.

			{\color{red} \heiti 【解】} 

			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 比较上述结果并作简要分析.

			{\color{red} \heiti 【解】} 
		\end{enumerate}

	\item {\color{TealBlue} [2 分]} 对于课堂中讨论过的美国公司数据集，利用 $X_1 \sim X_6$ 的全部六个变量的观测数据，检验能源行业和制造业的协方差矩阵是否相等.

		{\color{red} \heiti 【解】} 

	\item 对于瑞士银行钞票数据集 (mclust 包中的 banknote 数据集) 当中的伪钞数据，我们想知道钞票对角线的长度 $X_6$ 是否可以由 $X_1 \sim X_5$ 的一个线性模型来预测.
		\begin{enumerate}
			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 拟合线性模型，给出拟合结果.

				{\color{red} \heiti 【解】} 

			\item {\color{TealBlue} [2 分]} 检验回归系数是否显著不等于零 (取显著水平 $\alpha = 0.05$).

				{\color{red} \heiti 【解】} 
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}